8．5椭圆[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为()A．(±，0)B．(0，±)C．(±，0)或(±，0)D．(0，±)或(±，0)答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋＝1即为椭圆x2＋＝1，易知其焦点坐标为(0，±)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示()A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－＜0，结合θ∈(0，π)，知sinθ>0，cosθ<0，又sinθ＋cosθ＝＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故＞＞0，因为x2sinθ－y2cosθ＝1可化为＋＝1，所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C.D.答案B解析由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2， OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故选A.5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案C1解析因为椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2.因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝，n2＝＋，所以＋＝c2，化为＝，所以e＝＝.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为()A．2千米B.千米C．2mn千米D．mn千米答案A解析 某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为a－c，远地点B距地心为a＋c.∴a－c＝m＋r，a＋c＝n＋r，∴a＝＋r，c＝.又 b2＝a2－c2＝2－2＝mn＋(m＋n)r＋r2＝(m＋r)(n＋r)．∴b＝，∴短轴长为2b＝2千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为()A.B.C.－1D.答案C解析连接AF1， F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，又 △F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1＝∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝|F1F2|＝c，|F2A|＝|F1F2|＝c.根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋)c，解得a＝c，∴椭圆的离心率为e＝＝－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.B.C.D.答案C2解析设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝×|MN|×|EF|＝××2＝，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案C解析设外层椭圆方程为＋＝1(a>b>0，m>1)，则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由消去y，得(b2＋a2k)x2－2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0.因为Δ＝(2ma3k)2...
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