第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算一、填空题1．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA－3OB＋2OC＝0，则等于________．解析由已知得，OB－OA＝2(OC－OB)，∴AB＝2BC，∴＝2.答案22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.解析依题意得a－c＝(3－k，－6)，由(a－c)∥b得－6＝3(3－k)，k＝5.答案53．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析如图，设AB＝a，AD＝b，则AC＝AB＋AD＝a＋b，AF＝AB＋BF＝a＋b，AE＝AD＋DE＝a＋b，所以AE＋AF＝(a＋b)＝AC，即AC＝AE＋AF.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案4．在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0.AP＝λPD，则实数λ的值为________．解析如图所示，由AP＝λPD，且PA＋BP＋CP＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP＝－2PD，则λ＝－2.答案－25．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c，都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是________．解析本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a，b不共线，当a∥b，即向量a，b共线时，满足3m－2＝2m，解得m＝2.故a，b不共线时，m∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案(－∞，2)∪(2，＋∞)6．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF＝________.解析在△CEF中，有EF＝EC＋CF，因为E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为BC的中点，所以CF＝CB.所以EF＝EC＋CF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD.答案AB－AD7．在△AOB中，已知OA＝4，OB＝2，点D是AB的中点，则OD·AB＝________.解析特值法：设△ABO为直角三角形，建立坐标系如图，OD·AB＝(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝(OB2－OA2)＝－6.答案－68.如图所示，在△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE＝________(用a，b表示)．解析BE＝BA＋AE＝BA＋AD＝BA＋(AB＋BD)＝BA＋AB＋BD＝－AB＋×BC＝－AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC＝－a＋b.答案－a＋b9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形10．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于________．解析∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴，即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.答案0二、解答题11．如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作▱OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a、b表示OM、ON、MN.解OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b12.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝2e1＋e2，因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在λ、μ∈R，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2.故BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，所以所以所以AP＝AM，所以PM＝AM，即AP∶PM＝4∶1.13．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA＋GB＋GO；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.(1)解因为GA＋GB＝2GM，又2GM＝－GO，所以GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0.(2)证明因为OM＝(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG∥GQ，所以有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.又PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b，GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a、b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.14.如图所示，已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别是AB，BC上的点，且＝＝2，求△APC的面积．解设AB＝a，BC＝b，则AE＝a＋b，DC＝a＋b.因为点A，P，E和点D，P，C均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP＝λAE＝λa＋λb，DP＝μDC＝μa＋μb.又因为AP＝AD＋DP＝a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8(cm2)，S△PBC＝14×＝2(cm2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm2).
