方法平常用法巧妙朱忠保不等式的证明，有许多方法，作差、均值不等式等。表面看来，这些方法实在是再平常不过的常用方法，没有什么特别之处，但是只要用得巧妙，也能达到惊人的效果。例1.已知a，b，m，n，求证：采用作差比较法，再因式分解，构造幂函数判断其正负值。证明：因幂函数在上是增函数，不妨设，所以在上面的不等式中，对m，n取一些具体的值，可得：（1）已知，且，则。（2）已知，则（3）已知，则。上面的不等式有着广泛应用，下面给出两道竞赛题的巧证。例2.（1997年第26届美国数学奥林匹克竞赛题）已知，求证：证明：由已知不等式例3.（第37届国际奥林匹克预赛试题）已知，求证：证明：由上面已知的不等式得用心爱心专心对于例题1中的第（2）种情形，取：已知，且，求证。这里给出两种独特的证明方法：证明1：由三元均值不等式，有证明2：由二元均值不等式的变形例3.若，求证：。证明思路：从所证不等式是二次不等式，而已知等式是一次的，易想到先对已知等式平方，再用二元均值不等式证明之。证明：因为说明：活用二元、三元均值不等式的关键，在于创设条件，实行恰当地分拆或重新配凑。易知本例的不等式取等号的条件是，于是有新证：注：本例又可以进行如下三个方面的巧妙推广：（1）从指数方向推广，得出若，则一般地，若，则有（2）从项数方面推广，得出若，且，则求：用心爱心专心若，且（3）从指数和项数两个方面同时进行推广：若，则。例4.已知，求证：。思路分析：本例是课本中的一道题，宜采用二元均值不等式证明。证明：因为，同理，将上面三式两边相加，得因为，将上式两端除以，即有从上面的证明过程，易知本题等价于如下的常用不等式：所以而此不等式有着广泛应用，如设。因为，所以，所以由上面的结论得设，采用上面的方法，我们可以得到如下结论：（1）；（2）；（3）用心爱心专心
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