第二节函数的基本性质函数的奇偶性考向聚焦函数的奇偶性是高考的一个重点内容,考查角度有三个:一是判断具体函数的奇偶性;二是已知函数(解析式中含有参数)的奇偶性,求参数的值;三是与函数的单调性、对称性、周期性等结合求参数的值或取值范围.通常以选择题、填空题的形式考查,为基础题和中档题,所占分值在4分左右.在高考试卷中函数的奇偶性持续考查1.(年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()(A)f(x)+|g(x)|是偶函数(B)f(x)-|g(x)|是奇函数(C)|f(x)|+g(x)是偶函数(D)|f(x)|-g(x)是奇函数解析:令h(x)=f(x)+|g(x)|,∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|,又f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,故f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=h(x),故选A.答案:A.2.(年安徽卷,理3)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解析:法一:由f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-(2+1)=-3.故选A.法二:设x>0,则-x<0,于是f(-x)=2(-x)2+x=2x2+x,由于f(x)是奇函数,所以-f(x)=2x2+x,即f(x)=-2x2-x(x>0),因此f(1)=-2·12-1=-3,故选A.答案:A.3.(年新课标全国卷,理8)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()(A){x|x<-2或x>4}(B){x|x<0或x>4}(C){x|x<0或x>6}(D){x|x<-2或x>2}解析:根据f(x)=x3-8(x≥0)可以画出如图(1)的图象,又因为f(x)为偶函数可得图(2),y=f(x)向右平移2个单位可得y=f(x-2)的图象,如图(3),由图(3)易知f(x-2)>0时,可得x<0或x>4,故选B.答案:B.4.(年上海数学,理9,4分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.解析:设h(x)=f(x)+x2,据题意知,h(-x)+h(x)=0,即f(-x)+f(x)=-2x2,所以f(-1)+f(1)=-2,又f(1)=1,所以f(-1)=-3,因此g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-15.(年浙江卷,理11)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.解析:法一: f(x)=x2-|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x).∴(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|对x∈R恒成立,∴|a-x|=|a+x|对x∈R恒成立,∴a=0.法二:由于f(x)是偶函数,所以必有f(-1)=f(1),即1-|a-1|=1-|a+1|,所以|a-1|=|a+1|,两边平方可求得a=0,即实数a=0.答案:0函数的单调性考向聚焦函数单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面进行考查:一是求具体函数的单调区间或判断增减性;二是单调性的应用,例如根据单调性比较大小、求函数的最值、判断函数零点个数等;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查,且主要涉及抽象函数,有一定的综合性.高考试卷中一般是以选择题、填空题的形式出现,为基础题和中档题,所占分值5分左右,并且持续重点考查6.(年广东卷,理4,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()(A)y=ln(x+2)(B)y=-(C)y=()x(D)y=x+解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+∞),在(0,+∞)上递增,y=-,定义域为[-1,+∞),在(0,+∞)上递减,y=()x,定义域为R,在(0,+∞)上递减,y=x+,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.答案:A.7.(年陕西卷,理2,5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()(A)y=x+1(B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3是奇函数但为减函数,y=是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.答案:D.8.(年浙江卷,理9,5分)设a>0,b>0,()(A)若2a+2a=2b+3b,则a>b(B)若2a+2a=2b+3b,则ab(D)若2a-2a=2b-3b,则a0,b>0,则当2a+2a=2b+3b时,一定有2a+2a>2b+2b,此时a>b,故选A.答案:A.本题主要考查函数的单调性的应用.不等式等基础知识.构造函数f(x)=2x+2x,研究它的单调性是求解的关键.9.(年新课标全国卷,理2)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()(A)y=x3(B)y=|x|+1(C)y=-x2+1(D)y=2-|x|解析:y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|是偶函数.其中y=|x|+1在(0,+∞)单调递增.故选B.答案:B.10.(年安徽卷,理9)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是(,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是()(A)[0,1](B)[1,7](C)[7,12](D)[0,1]和[7,12]解析:如...
