第二节等差数列有关等差数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要是以选择、填空题形式考查a1、n、d、an、Sn的基本运算问题,“”即知三求二,难度较低,分值占5分左右备考指津要熟记等差数列的通项公式、求和公式,运算时注意方程思想与整体思想的运用1.(年全国大纲卷,理5,5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列{}的前100项和为()(A)(B)(C)(D)解析:由等差数列的通项公式和前n项和公式,得a5=a1+4d=5①S5=5a1+10d=15②解得d=1,a1=1.∴an=a1+(n-1)d=n∴==-.∴数列{}的前100项和为T100=(-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.答案:A.2.(年辽宁卷,理6,5分)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()(A)58(B)88(C)143(D)176解析:{an}成等差数列,a4+a8=a1+a11=16,S11===88.故选B.答案:B.3.(年大纲全国卷,理4)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于()(A)8(B)7(C)6(D)5解析:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=a1+(k+2-1)d+a1+(k+1-1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5.故选D.答案:D.4.(年天津卷,理4)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为()(A)-110(B)-90(C)90(D)110解析: 等差数列{an}的公差d=-2,∴a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又=a3·a9,∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20.∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.故选D.答案:D.5.(年四川卷,理8)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8等于()(A)0(B)3(C)8(D)11解析:设等差数列{bn}的公差为d,∴解得∴bn=2n-8.由bn=an+1-an,得an+1-an=2n-8.相加得a8-a1=2(1+2+…+7)-56=56-56=0.∴a8=a1=3.故选B.答案:B.6.(年福建卷,理3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()(A)6(B)7(C)8(D)9解析:设等差数列{an}的公差为d. a1=-11,∴a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6,∴d=2.后续有两种解法:法一:注意到a1=-11<0,d>0.数列{an}为:-11,-9,-7,-5,-3,-1,1,…∴S6最小.故选A.法二:Sn=n2+(a1-)n=n2-12n=(n-6)2-36,(n∈N*),∴n=6时,Sn有最小值.故选A.答案:A.7.(年广东卷,理11,5分)已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=-4,则an=.解析:设公差为d,a1=1,a1+2d=(a1+d)2-4,解得:d2=4.又{an}是递增的等差数列,∴d=2.∴an=a1+(n-1)d=2n-1.答案:2n-18.(年湖南卷,理12)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=.解析:设等差数列{an}的公差为d,由a4=7得a1+3d=7,又 a1=1,∴d=2,∴a5=a1+4d=9,∴S5===25答案:259.(年广东卷,理11)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:S9=a1+a2+a3+a4+a5+…+a9,即S9=S4+a5+…+a9,又S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,又a5+a9=a6+a8=2a7,∴5a7=0,∴a7=0,则公差d==-,又ak+a4=0,∴[a1+(k-1)d]+[a1+3d]=0,即[1+(k-1)(-)]+[1+3×(-)]=0,∴k=10.答案:1010.(年浙江卷,理15)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.解析:由S5S6+15=0可得2+9a1d+10d2+1=0,(*)由存在实数a1,使(*)式成立,∴Δ=81d2-8(10d2+1)≥0,解得d≤-2或d≥2.答案:d≤-2或d≥2在推出2+9a1d+10d2+1=0后,由于存在a1满足此式,所以可以把它看成关于a1的一元二次方程有解,由Δ≥0得d的取值范围.这体现了方程思想的运用.11.(年湖北卷,理18,12分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式.综上,Sn=等差数列性质的应用考向聚焦高考热点内容,多以选择、填空形式考查等差数列的性质,难度低档,分...
