第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算一、填空题1.下列命题中正确的是________．(填序号)①单位向量的模都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；⑤对任意非零向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.答案：①④⑤解析：单位向量的模均为1，故①正确；共线包括同向和反向，故②不正确；向量不能比较大小，故③不正确；根据向量的表示，知④正确；由向量加法的三角形法则知⑤正确．2.若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________．答案：2解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.3.已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.若A，B，D三点共线，则k＝________.答案：－8解析：若A，B，D三点共线，则AB∥BD，设AB＝λBD.因为BD＝CD－CB＝e1－4e2，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，所以λ＝2，k＝－4λ，所以k＝－8.4.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，设AB＝a，AD＝b，E为BC的中点，则AE＝________．(用a，b表示)答案：a＋b解析：BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD，AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋＝AB＋AD＝a＋b.5.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝________．答案：CF解析：由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF.6.(2017·泰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，若BC＝λDC(λ∈R)，则λ＝________．答案：－3解析：由AD＝－AB＋AC，可得3AD＝－AB＋4AC，即4AD－4AC＝AD－AB，则4CD＝BD，即BD＝－4DC，可得BD＋DC＝－3DC，故BC＝－3DC，则λ＝－3.7.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为__________．答案：解析：由|a＋b|＝|a－b|可知a⊥b.设AB＝b，AD＝a，作矩形ABCD，可知AC＝a＋b，BD＝a－b.设AC与BD的交点为O，结合题意可知OA＝OD＝AD，∴∠AOD＝，∴∠DOC＝.又向量a＋b与a－b的夹角为AC与BD的夹角，故所求夹角为.8.在△ABC中，已知D是AB边上一点，且CD＝CA＋λCB，则实数λ＝__________．答案：解析：如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，则CD＝CE＋CF.因为CD＝CA＋λCB，所以CE＝CA，CF＝λCB.由△ADE∽△ABC，得＝＝，所以ED＝CF＝CB，故λ＝.9.在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝____________．(用a，b表示)答案：a＋b解析：如图， △DEF∽△BEA，∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴GF＝b. AG＝AO＋OG＝AC＝a，∴AF＝AG＋GF＝a＋b.10.向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线．其中所有正确的结论是________．(填序号)答案：④解析：由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，e1＋e2不共线，得AB与CB不共线，A，C，D共线，且B不在此直线上．11.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”)答案：内心解析：作∠BAC的平分线AD. OP＝OA＋λ，∴AP＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴AP＝·AD，∴AP∥AD.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．二、解答题12.如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线MN与边AB，AC分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，求x＋y的最小值．解：由点G是△ABC的重心，知GA＋GB＋GC＝0，得－AG＋(AB－AG)＋(AC－AG)＝0，则AG＝(AB＋AC)．又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得AG＝λAM＋μAN(且λ＋μ＝1)，则AG＝λxAB＋μyAC＝(AB＋AC)，所以于是得＋＝3.又由题意x＞0，y＞0，所以x＋y＝(x＋y)＝≥(当且仅当＝，即x＝y时，等号成立)，即x＋y的最小值为.13.如图，已知△OCB中，点C是点B关于点A的对称点，D是将OB分为2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E.设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A是BC的中点，且OD＝OB.由平行四边形法则...
