2.3.3~2.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课后训练案巩固提升A组1.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小C.不变D.有时变大有时变小解析: BC⊥CA,l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,∴∠PCB=90°,故选C.答案:C2.如图所示,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析:由题意知BC∥DF,∴BC∥平面PDF. P-ABC为正四面体,∴BC⊥PA,AE⊥BC.∴BC⊥平面PAE,∴DF⊥平面PAE. DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC.答案:C3.(2016山西太原高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行解析:如图,连接C1D,BD,在△C1DB中,MN∥BD,故C正确; CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直,故A正确; AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,B正确; A1B1与BD异面,MN∥BD,∴MN与A1B1不可能平行,D错误.故选D.答案:D4.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°解析: PA⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角. 六边形ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB,即tan∠ADP==1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°,选D.答案:D5.如图所示,沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是.解析: AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,且平面ADE∩平面BCDE=DE,∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE,∴AD⊥BC. BC⊥CD,CD∩AD=D,∴BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD.答案:平面ABC⊥平面ACD6.导学号96640063将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下三个结论.①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角.说法正确的命题序号是.解析:如图所示,①取BD中点E,连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.又AC⊂平面AEC,∴AC⊥BD,故①正确.②设正方形的边长为a,则AE=CE=a.由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,且∠AEC=90°,∴AC=a,∴△ACD是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE⊥平面BCD,则∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,故③不正确.答案:①②7.如图所示,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,则二面角C-BD-A的平面角的正切值为.解析:过C点作CO⊥AB,垂足为O,作OH⊥BD,垂足为H,连接CH. 平面ABC⊥平面ABD,交线为AB,∴CO⊥平面ABD,∴CO⊥BD.又OH⊥BD,OH∩CO=O,∴BD⊥平面COH,∴BD⊥CH.∴∠CHO为二面角C-BD-A的平面角.设CA=CB=a,则AB=BD=AD=a,CO=a.∴OH=a=a.∴tan∠CHO=.答案:8.(2015北京高考)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于OC·S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.9.(2016山西大同一中高二月考)如图,在三棱锥A-BCD中,AO⊥平面BCD;O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.(1)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(2)求点E到平面ACD的距离.解:(1)取AC的中点M,连接OM,ME,OE.由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC,∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1. OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴OM=AC=1,∴cos∠OEM=.(2)设点E到平面ACD的距离为h. VE-ACD=VA-CDE,∴h·S△ACD=·AO·S△CDE.在△ACD中,CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=,而AO=1,S△CDE=...
