第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能解析由<1，得>1，∴点P在圆外．答案B2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为()A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0解析易知圆心C坐标为(2,0)，则kCP＝＝－，所以所求切线的斜率为.故切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.答案D3．(2015·沈阳质量监测)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切解析由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.答案C4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.答案A5．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A．k＝，b＝－4B．k＝－，b＝4C．k＝，b＝4D．k＝－，b＝－4解析因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y1＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.答案A二、填空题6．(2015·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．解析圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝.答案7．(2014·武汉调研)过点P(1,1)的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，所以直线OP垂直于x＋y－2＝0.答案x＋y－2＝08．(2014·重庆卷)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析由x2＋y2＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，∴圆C的圆心坐标为(－1,2)，半径为3.由AC⊥BC，知△ABC为等腰直角三角形，所以C到直线AB的距离d＝，即＝，所以|a－3|＝3，即a＝0或a＝6.答案0或6三、解答题9．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．解如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，圆x2＋y2＋4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2,6)，半径r＝4，故AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0，由点C到直线AB的距离公式，得＝2，解得k＝.此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0；当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，则y2－12y＋24＝0，∴y1＝6＋2，y2＝6－2，∴|y2－y1|＝4，故x＝0满足题意；∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.10．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．2法一(1)证明由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|＝2＝2，令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二(1)证明圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，所以R2－d2>0，即d
