全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1（B）3（C）4（D）52、函数（x∈R，x≠1）的递增区间是（A）x≥2（B）x≤0或x≥2（C）x≤0（D）x≤或x≥3、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为（A）x＋y－3＝0（B）x＋3y－5＝0（C）2x＋y－5＝0（D）x＋2y－4＝04、若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是（A）0≤a＜1（B）－3≤a＜1（C）a＜1（D）0＜a＜15、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A）42（B）45（C）48（D）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是（A）8（B）10（C）14（D）16二、填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x是．2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝．3、数799被2550除所得的余数是．4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝．5、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin和cos，则的取值范围是．6、数（n∈N）的个位数字是．三、（20分）已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数．用心爱心专心（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．求证：的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；（2），其中表示△ABC的面积．三、（50分）给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：．确定和式的值（写成关于n的最简式子）．用心爱心专心ACBDQKP参考答案第一试一、选择题：题号123456答案CCDABD二、填空题：1、或；2、7×2n-1－n2－2n－3；3、343；4、；5、{|＝2n＋或2n－，n∈Z}；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）．三、证略，等号成立的条件是或或或．四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝．第二试一、证略（提示：直接解出，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从用心爱心专心而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则＝AR＞AT＞AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．三、．用心爱心专心
