利用待定系数法，突破求通项的瓶颈—浅谈2008年广东省高考理科数学压轴题【摘要】本文通过对2008年广东省普通高考理科数学最后一题的解题思路的探究结合课本中的习题，引出一类可以利用待定系数求通项公式的题目，并对该方法推广到解决某些“由非线性的递推关系式求通项公式”的问题。【关键词】递推关系式、特征根方程、待定系数法2008年的高考已经降下帷幕，每一年的高考数学题目都会有一些新亮点值得大家关注，而在这些题目当中，压轴题更是大家关注的焦点，研究的重点。2008年广东省高考理科数学的最后一题是一道一元二次方程与数列通项、数列求和相结合的题目，本题的难点是在于由题目中给出的递推关系式怎样求出通项公式，题目如下：21．设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．其中第二个问，与普通高中新课程标准实验教科书《数学》必修5第77第6题是如出一辙。题目如下：已知数列中，，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？该题目实际上是由线性的递推关系式求通项公式的问题，在大学数学专业所开设的《组合数学》课程中，已经有了完善的解决方法。可利用特征根方程的方法加以推导、计算。具体方法如下：设递推公式为其特征方程为，1、若方程有两相异根、，则；2、若方程有两等根，则.其中、可由初始条件确定。但鉴于学生的学习情况，我们不可能向每位同学介绍这种“特征根方程”的方法。那么利用数学归纳法行吗？通过计算数列的前几项，很难找出规律，所以也不可能猜想出它的通项公式。而教参所采用的方法是，先构造出一个等比数列，再利用迭代的方法，具体过程如下：由得，①,以及②所以是以3为公比的等比数列，同理是以-1为公比的等比数列，由以上两式，消去，整理，得解决本题的关键在于，怎样通过递推关系式，变形得到①、②两式。实际上是利用了待定系数法得以实现。我们先来看一个常见于各种数学参考资料的例子（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_____________________解：由，得，设，即，比较系数，得，，因此数列是以2为公比的等比数列，，通过这个例子，我们不难发现，对于递推关系式，也可以采用待定系数法来经行处理。设，即，比较系数，得，所以是二次方程(*)的两根，解得或因此，便得到①,以及②这两个关键的式子。同时，方程(*)实质上就是递推关系式所对应的特征根方程，就是其特征根。因此，2008年广东省高考数学理科的压轴题第2问，可采用上述“待定系数”法加以解决（2）设，则，由得，，消去，得，是方程的根，由题意可知，①当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,两式相减，得，，，，即，②当时，即方程有重根，，即，得，不妨设，由①可知，，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，，综上所述，（3）把，代入，得，解得通过以上分析，我们发现，对于一个数学题目，如果已知所求的结果必具有某种形式，仅仅是这种形式中的各个系数有待确定，便可用一些不同字母分别表示这些待定系数，令所得表达式与原算式相等，然后设法利用多项式恒等定理（即等式两边同类项的系数相等）、或数值代入、或恒等变形等方法，逐一求出这些待定的系数，从而得出所求的结果，这种解题方法叫做待定系数法。利用待定系数法可以解决由“线性递推关系式”求通项公式。不仅如此，有些“非线性递归关系式”求通项公式的问题也可以利用待定系数法加以解决。例1：设函数，数列满足，且，求数列的通项；解：，由，得，……①令，解得，将它们代回①得，……②，……③，③÷②，得,则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2所以，则，例2：已知求数列的通项公式解：由，设，比较系数可得，令，则，待定系数法的功能是将多项式分解因式，使用待定系数法，就是把具有某些确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。同时，某些数列求和问题、求点的坐标、曲线的方程等均可以利用待定系数法进行求解。“源于课本，而高与课本”这...
