1.1直线的倾斜角和斜率1.已知直线l1的倾斜角是30°,直线l2⊥l1,则l2的倾斜角为()A.30°B.60°C.90°D.120°解析:如图所示,由于l2⊥l1,所以△MAB是直角三角形,而l1的倾斜角等于30°,即∠MAB=30°,于是∠MBA=60°,从而∠MBx=180°-60°=120°,即直线l2的倾斜角等于120°.答案:D3.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]解析:∵直线l经过点A(2,1),B(1,m2)(m∈R),∴kAB==1-m2,∵m∈R,∴m2≥0,∴-m2≤0,∴1-m2≤1,则有kAB≤1,∴直线l的斜率的取值范围是(-∞,1],故选D.答案:D4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值是()A.4,0B.-4,-3C.4,-3D.-4,3解析:由题意得解得a=4,b=-3.答案:C5.导学号62180089已知两点A(-3,8),B(2,4),若在y轴上的点P满足PA的斜率是PB斜率的两倍,则点P的坐标为()A.(5,0)B.C.(0,5)D.解析:由题意设P(0,y),∵kPA=2kPB,∴=2×,解得y=5,即点P的坐标为(0,5).故选C.答案:C6.已知直线l经过点A(5,10),B(m,12),且直线l的倾斜角是锐角,则m的取值范围是.解析:由于直线的倾斜角是锐角,所以kl=kAB=>0,即>0,因此m>5.答案:m>57.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则的值等于.解析:∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,∴4=(a-2)(b-2).∴ab-2(a+b)=0.∵ab≠0,∴1-2=0.∴.答案:8.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是.解析:不妨设(0,0)在直线l上,该点通过平移后变为(-3,1),且在直线l上,所以直线l的斜率为-.答案:-9.已知A(3,4),在坐标轴上有一点B,使直线AB的斜率等于2,求点B的坐标.解:①如果点B在x轴上,可设B(x0,0),则kAB==2,所以x0=1,即B(1,0).②如果点B在y轴上,可设B(0,y0),则kAB==2,所以y0=-2,即B(0,-2).综上可知,点B的坐标为(1,0)或(0,-2).10.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求的最大值和最小值.解:由的几何意义可知它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,1),B(-1,5),所以kPA=,kPB==8,所以≤k≤8,故的最大值为8,最小值为.11.导学号62180090已知直角坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.解:(1)由斜率公式得kAB==0,kBC=,kAC=.∵tan0°=0,∴直线AB的倾斜角为0°.∵tan60°=,∴直线BC的倾斜角为60°.∵tan30°=,∴直线AC的倾斜角为30°.(2)如图所示,当斜率k变化时,直线CD绕点C旋转,当直线CD由CA逆时针转到CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为.
