第十二节导数的综合应用【最新考纲】会用导数解决实际问题，能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题．1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()(2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．()(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．()(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0，9)时，y′>0，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．答案：C3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可，f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2，2)．答案：(－2，2)4．若f(x)＝，0
0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上为增函数，又 00；当x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2>0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，答案：D4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式f(x)>＋1(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(3，＋∞)解析：由f(x)>＋1得，exf(x)>3＋ex，构造函数F(x)＝exf(x)－ex－3，得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex...
