考点15三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、简单的三角恒等变换一、选择题1.(2017·全国丙卷·文科·T6)函数f(x)=sin+cos的最大值为()A.B.1C.D.【命题意图】本题考查三角函数的性质和诱导公式,考查学生的观察分析和运算的能力.【解析】选A.由诱导公式可得:cos=cos=sin,则f=sin+sin=sin,因为-1≤sin≤1,故函数f(x)的最大值为2.(2017·山东高考文科·T4)已知cosx=,则cos2x=()A.-B.C.-D.【命题意图】本题考查二倍角公式的应用和三角恒等变换,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.【解析】选D.cos2x=2cos2x-1=2×-1=.3.(2017·山东高考文科·T7)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为()A.B.C.πD.2π【命题意图】本题考查三角恒等变换和三角函数周期的求解,意在考查考生对数学式子的变形应用能力.【解析】选C.由题意y=2sin,其周期T==π.二、填空题4.(2017·全国甲卷文·T13)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.【命题意图】三角函数的图象和性质、简单的三角恒等变换,意在考查学生的转化和化归思想以及运算能力.【解析】根据辅助角公式,可以得到f(x)=2cosx+sinx=sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值为1,故f(x)的最大值为.答案:5.(2017·全国甲卷理科·T14)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是.【命题意图】三角函数的性质,同角三角函数的基本关系、二次函数的性质.意在考查学生的三角转换能力和运算能力.【解析】f(x)=1-cos2x+cosx-=-cos2x+cosx+=-+1,因为x∈,所以cosx∈[0,1],所以当cosx=时,函数取得最大值1.答案:16.(2017·北京高考文科·T9)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则sinβ=.【命题意图】本题主要考查三角恒等变换.意在培养学生计算能力.【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=2kπ+π-α,k∈Z,所以sinβ=sin=sin=sinα=.答案:【误区警示】在表达角α与角β的关系时,易错误地写成β=π-α.检索号:167.(2017·北京高考理科·T12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,cos(α-β)=.【命题意图】本题主要考查三角恒等变换.意在培养学生计算能力.【解析】因为sinβ=sinα,cosβ=-cosα,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-.答案:-8.(2017·江苏高考·T5)若tan=,则tanα=.【命题意图】考查两角和正切公式的应用.【解析】tanα=tan===.故答案为.答案:三、解答题9.(2017·山东高考理科·T16)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0,(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.【命题意图】本题考查三角函数图象的变换及三角函数的性质,意在考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin.由题设知f=0,所以=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以f(x)=sin=sin,因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.10.(2017·浙江高考·T18)已知函数f=sin2x-cos2x-2sinxcosx.(1)求f的值.(2)求f的最小正周期及单调递增区间.【命题意图】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.【解析】(1)因为sin=,cos=-,所以f=--2××即f=2,(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f=-cos2x-sin2x=-2sin,所以f的最小正周期是π,由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f的单调递增区间是,k∈Z.
