大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S满足S＝[c2－(a－b)2]．(1)求cosC；(2)若c＝4，且2sinAcosC＝sinB，求b的长．解：(1)由S＝[c2－(a－b)2]＝[－(a2＋b2－c2)＋2ab]＝－abcosC＋ab，又S＝absinC，于是absinC＝－abcosC＋ab，即sinC＝2(1－cosC)，结合sin2C＋cos2C＝1，可得5cos2C－8cosC＋3＝0，解得cosC＝或cosC＝1(舍去)，故cosC＝.(2)由2sinAcosC＝sinB结合正、余弦定理，可得2·a·＝b，即(a－c)(a＋c)＝0，解得a＝c，又c＝4，所以a＝4，由c2＝a2＋b2－2abcosC，得42＝42＋b2－2×4×b，解得b＝.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB的方向为x轴的正方向，|OB|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知B1(0,0，)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)．则B1D＝(0,1，－)，AC＝(2,2,0)，CC1＝(－1,0，)．设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AC＝0，m·CC1＝0，即x＋y＝0，－x＋z＝0，可取m＝(，－，1)．设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，故cos〈B1D，m〉＝＝－.则sinθ＝.∴直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为.3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X，求X的分布列与数学期望.分组持赞同意见的人数占本组的频率[25,30)40.80[30,35)80.80[35,40)120.80[40,45)190.95[45,50)240.80[50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为＝5，其频率为＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为＝10，其频率为＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为＝15，其频率为＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为＝20，其频率为＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为＝30，其频率为＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为＝20，其频率为＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为×0.05＋×0.1＋×0.15＋×0.2＋×0.3＋×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为＝，将频率视为概率，故从这10000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为，设“从这10000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A，则P(A)＝C××＋C××＝.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数...
