【高考领航】2017届高考数学大一轮复习演练经典习题3理北师大版1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N＋，均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2016.解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0或d＝2，又∵d＞0，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝3.∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2＝3n－1.(2)由＋＋…＋＝an＋1，①得当n≥2时，＋＋…＋＝an，②①－②，得n≥2时，＝an＋1－an＝2，∴cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)．而n＝1时，＝a2，∴c1＝3.∴cn＝∵c1＋c2＋…＋c2016＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32015＝3＋＝3－3＋32015＝32015.2．(2016·济南一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k.(1)求k的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·3n－1.因为{an}是等比数列，所以a1＝2，an＝2·3n－1.a1＝S1＝3＋k＝2，所以k＝－1.(2)由＝(4＋k)anbn，可得bn＝，bn＝·，Tn＝.Tn＝，Tn＝，Tn＝.3．(2016·吉林长春模拟)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2.求证：数列{an}是等差数列；(3)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，得f(x)(ax－1)＝b.若ax－1＝0，则b＝0，不合题意，故ax－1≠0，∴f(x)＝.由f(1)＝2＝，得2a－2＝b.①由f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立，得＝－，由此解得a＝.②把②代入①，可得b＝－1.∴f(x)＝＝(x≠2)．(2)证明：∵f(an)＝，Sn＝2，∴Sn＝(an＋1)2，∴a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1；当n≥2时，Sn－1＝(an－1＋1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＞0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，∴数列{an}是等差数列．(3)数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n－1.∴bn＝.Tn＝＋＋＋…＋，③同边同乘以，得Tn＝＋＋＋…＋，④③－④，得Tn＝＋＋＋…＋－，∴Tn＝2×－－＝2×－－＝－，∴Tn＝3－.4．函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3；(2)求数列{xn}的通项公式．解：(1)证明：用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1＜3.(ⅰ)当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为y－5＝(x－4)，令y＝0，解得x2＝，所以2≤x1＜x2＜3.(ⅱ)假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.直线PQk＋1的方程为y－5＝(x－4)，令y＝0，解得xk＋2＝.由归纳假设知xk＋2＝＝4－＜4－＝3；xk＋2－xk＋1＝＞0，即xk＋1＜xk＋2.所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即当n＝k＋1时，结论成立．由(ⅰ)、(ⅱ)知对任意的正整数n,2≤xn＜xn＋1＜3.(2)由(1)及题意得xn＋1＝.设bn＝xn－3，则＝＋1，＋＝5，数列是首项为－，公比为5的等比数列．因此＋＝－·5n－1，即bn＝－，所以数列{xn}的通项公式为xn＝3－.5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.(1)设c＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．解：(1)an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2.所以bn＋1＋＝4.又a1＝1，故b1＝＝－1，所以是首项为－，公比为4的等比数列，bn＋＝－×4n－1，即bn＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.①当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；②假设当n＝k时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1.故由①②，知当c＞2时，an＜an＋1.当c＞2时，因为c＝an＋1＋＞an＋，所以a－can＋1＜0有解．所以＜an＜.所以令a＝，当2＜c≤时，a在上单调递增，所以an＜a≤3；当c＞时，a＞3，且1≤an＜a，a＝，＝＝，所以c＝a＋.又c＝an＋1＋，所以a＋＝an＋1＋，所以a－an＋1＝－＝(a－an)．又an·a＞3，所以a－an＋1＝(a－an)＜(a－an)＜(a－an－1)＜(a－an－2)＜…＜(a－a2)＜(a－1)．所以当n＞log3时，a－an＋1＜a－3，所以an＋1＞3，与已知矛盾．所以c＞不符合要求．故c的取值范围是.
