课时分层作业(三十八)同角三角函数的基本关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α是第三象限角，且sinα＝－，则3cosα＋4tanα＝()A．－B．C．－D．A[因为α是第三象限角，且sinα＝－，所以cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝＝，所以3cosα＋4tanα＝－2＋＝－.]2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是()A.B．C．1D．C[原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.]3．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为()A．－B．－C.D．B[sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.]4.cos2x等于()A．tanxB．sinxC．cosxD．D[原式＝·cos2x＝·cos2x＝·cos2x＝＝.]5．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ＝()A.B．－C.D．－B[由(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，得2sinθcosθ＝，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，由0<θ≤，知sinθ－cosθ≤0，所以sinθ－cosθ＝－.]二、填空题6．化简的结果是．cos20°[＝＝＝＝|cos20°|＝cos20°.]7．已知cosα＋2sinα＝－，则tanα＝.2[由得(sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2.]8．已知tanα＝2，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝.1[4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝＝＝1.]三、解答题9．化简下列各式：(1)－；(2)(1－cosα)．[解](1)原式＝＝＝＝－2tan2α.(2)原式＝(1－cosα)＝(1－cosα)＝＝sinα.10．若<α<2π，求证：＋＝－.[证明]∵<α<2π，∴sinα<0.左边＝＋＝＋＝＋＝－－＝－＝右边．∴原等式成立．11．(多选题)若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．tanα＝B．cosα＝C．sinα＋cosα＝D．sinα－cosα＝－AB[∵sinα＝，且α为锐角，∴cosα＝＝＝，故B正确，∴tanα＝＝＝，故A正确，∴sinα＋cosα＝＋＝≠，故C错误，∴sinα－cosα＝－＝≠－，故D错误．故选AB.]12.的值为()A．1B．－1C．sin10°D．cos10°B[＝＝＝＝－1.]13．(一题两空)已知sinθ＝，cosθ＝，则m的值为，tanθ＝.0或8－或－[因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以2＋2＝1.整理得m2－8m＝0，解得m＝0或8.又tanθ＝＝当m＝0时，tanθ＝－；当m＝8时，tanθ＝－.]14．已知sinθ，cosθ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝.±[＋＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ，又因为sinθ，cosθ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sinθcosθ＝，则(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝2，所以sinθ＋cosθ＝±.]15．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现．(3)证明：∀x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.(4)推测∀x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明．[解](1)cos4－sin4＝＝cos2－sin2＝－＝＝cos.(2)cos4－sin4＝＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.(4)推测cos2x－sin2x＝cos2x.
