综合模拟练011．已知等差数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和为，求使的最小正整数．【答案】（1）（）；（2）5（2）由（1）知，所以，，令，解得，因为，所以，故使的最小正整数为5.2．如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．（I）求证：；（II）求多面体的体积.【答案】（I）见解析；（II）.试题解析：（Ⅰ）取中点，连，∥∥，∥四边形是平行四边形∥，∥又平面，平面∥平面（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，所以于是又，平面，又，平面于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.又直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，故多面体的体积为.3．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据，如下表所示：已知变量具有线性负相关关系，且，，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率.【答案】（1）,（2）.试题解析：（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲是错误的.又易得，满足方程，故乙是正确的.由条件可得（2）由计算可得“理想数据”有个，即.从检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据”有种情形.故所求概率为.4．以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：为定值；（3）求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）试题解析：（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点关于轴对称，如图所示.由可得，∵，∴.∴抛物线的方程为.5．设函数.若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是;（2）【解析】试题分析：（1）由函数的解析式得其定义域为..因为曲线在点处的切线方程为，所以,,联立可得解方程组可得.所以，.分别解不等式与，可得单调递减与递增区间。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，构造函数，因为，所以对任意，不等式恒成立.考虑函数的单调性。因为。当时，对任意恒成立，此时函数单调递增.于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；当函数为减函数时，试题解析：解：（1）函数的定义域为..依题意得，，即所以.所以，.当时，；当时，.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.又，当，即恒成立时，函数单调递减，设，则，所以，即，符合题意；当时，恒成立，此时函数单调递增.于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；当时，设，【点睛】1、求函数的单调区间，可求导，令导函数大于、小于0，再结合定义域，可得单调区间；2、不等式的恒成立问题，一种方法可以分离参数，转化为函数的最值问题，另一种方法构造函数，求函数的最值。3、判断函数的单调性时，可以求导，导函数正负不容易判断时，有时可以构造函数，二次求导。6．选修4-4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．(1)若直线与曲线交于两点，求的值；(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值．【答案】(1)2(2)16【解析】试题分析：(1)先写出曲线的直角坐标系方程为:，与直线的参数方程联立，利用韦达定理即得解，（2）设，得出周长，化一后即得解.7．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）试题解析：解：（1）当时，无解；当时，；当时，.综上，.（2）函数的最小值为，，所以.
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