6.3平面向量线性运算的应用[A基础达标]1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人的实际速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.解析：选B.由向量的加法法则可得人的实际速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选D.由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°.3．河水的流速为5m/s，一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河岸方向驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．13m/sB．12m/sC．17m/sD．15m/s解析：选A.设小船的静水速度为v1，河水的流速为v2，静水速度与河水速度的合速度为v，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．4．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形解析：选A.因为AB＝，DC＝(3，4)，所以AB＝DC，所以AB∥DC，即AB∥DC.又|AB|＝＝，|DC|＝＝5，所以|AB|≠|DC|，所以四边形ABCD是梯形．5．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|OC|＝10，则|OA|＝|OB|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：106．如图，设P为△ABC内一点，且2PA＋2PB＋PC＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．解析：设AB的中点是D.因为PA＋PB＝2PD＝－PC，所以PD＝－PC，所以P为CD的五等分点，所以△ABP的面积为△ABC的面积的.答案：7．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×＝5(m/s)，即该物体在水平方向上的速度是5m/s.答案：58．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明：设AD＝a，AB＝b，则DE＝AE－AD＝AC－a＝b－a，FB＝AB－AF＝b－AC＝b－a，所以DE＝FB，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．9.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若AB＝a，AD＝b.(1)试以a，b为基底表示BE，DF；(2)求证：A，G，C三点共线．解：(1)BE＝AE－AB＝b－a，DF＝AF－AD＝a－b.(2)证明：因为D，G，F三点共线，则DG＝λDF，即AG＝AD＋λDF＝λa＋(1－λ)b.因为B，G，E三点共线，则BG＝μBE，即AG＝AB＋μBE＝(1－μ)a＋μb，由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，所以AG＝(a＋b)＝AC，所以A，G，C三点共线．[B能力提升]10．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则＝()A.B.C.D.解析：选D.如图所示，由AD＝AB＋AC得，点D在平行于AB边的中位线上，所以＝.11．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500(J)．答案：150012．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，∠BAC的平分线AE与BC相交于点E，则BC＝λCE，其中λ等于______．解析：由＝＝2，得|BE|＝2|CE|(如图)．从而|BC|＝3|CE|，又BC与CE方向相反，所以BC＝－3CE，所以λ＝－3.答案：－313.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确说法的所有序号)①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ，则|F|cosθ＝|f|，所以|F|＝.因为θ增大，cosθ减小，所以|F|增大．因为|F|sinθ增大，所以船的浮力减小．答案：①③[C拓展探究]14．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2.故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得所以AP＝AM，BP＝BN.故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
