压轴题冲关系列(三)(时间：45分钟分数：60分)1．(2015·贵州七校联考)已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C1方程为：＋＝1(m＞n＞0)，椭圆C2方程为：＋＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的取值范围．解：(1)设椭圆C1方程为＋＝1(a＞b＞0)，∴直线AB方程为＋＝1，∴F1(－1,0)到直线AB距离为d＝＝b，化为a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，解得：a＝2，b＝.∴椭圆C1方程为＋＝1.(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1.①若切线m垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2.②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代人椭圆C1方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝48(4k2＋3－m2)＝0，即m2＝4k2＋3，(*)记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝kx＋m代人椭圆C2方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－36＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|x1－x2|＝＝＝，∴|MN|＝|x1－x2|＝＝2 3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，即2<2≤4，综合①②，得弦长|MN|的取值范围为[2，4]．2．(2015·广西三市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足OA＋OB＝tOP(O为坐标原点)，当|PA－PB|<时，求实数t的取值范围．解：(1)由题意知，e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝2b2.又 以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，∴b＝＝1，则a2＝2.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知直线AB的斜率存在．设AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，解得k2<，且x1＋x2＝，x1x2＝. OA＋OB＝tOP，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)．当t＝0时，不满足|PA－PB|<；当t≠0时，解得x＝＝，y＝＝＝， 点P在椭圆＋y2＝1上，∴＋2×＝2，化简，得16k2＝t2(1＋2k2)， |PA－PB|<，∴|x1－x2|<，化简，得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，∴(1＋k2)<，∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，解得k2>，即b>0)经过点，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P，求直线l的方程．解：(1)由题意得解得所以椭圆C的方程是＋y2＝1.(2)解法一：设直线的方程设为y＝kx＋t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，则有x1＋x2＝，x1x2＝，Δ>0⇒4k2＋2>t2，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝k2＋kt＋t2＝.因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以OA·OB＝0⇒x1x2＋y1y2＝0.x1x2＋y1y2＝＋＝0⇒5t2＝4＋4k2，Δ>0⇒4k2＋1>t2⇒t<－或t>.又设A，B的中点为D(m，n)，则m＝＝，n＝＝.因为直线PD与直线l垂直，所以kPD＝－＝得＝，由解得当t＝－时，Δ>0不成立．当t＝1时，k＝±，所以直线l的方程为y＝x＋1或y...
