专题检测（十一）三角函数的图象与性质一、选择题1．(2017·贵阳检测)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3,4)，则cos2θ的值为()A．－B．C．－D．解析：选A由题意得，cosθ＝＝－.所以cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.2．(2016·山东高考)函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是()A.B．πC.D．2π解析：选B∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴T＝＝π.3．(2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为()A.B.C.D.解析：选B由题意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝0时，|φ|取得最小值.4．(2017·福建质检)若将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是()A.B.C.D.解析：选A将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，得y＝3cos＝3cos的图象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以平移后图象的一个对称中心是.5．(2018届高三·湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为()A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析：选B由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin＋，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.6．(2017·太原模拟)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为()A.B.C.D.解析：选B法一：易得f(x)＝2sin，设t＝ωx－，因为00，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，则f＝2sin＝2cos＝.答案：9．已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.解析：令ωx＝X，则函数y＝2sinX与y＝2cosX图象交点坐标分别为，，k∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为2，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝，所以T＝4＝，所以ω＝.答案：三、解答题10．已知m＝，n＝(cosx,1)．(1)若m∥n，求tanx的值；(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解：(1)由m∥n得，sin－cosx＝0，展开变形可得，sinx＝cosx，即tanx＝.(2)f(x)＝m·n＝sincosx＋1＝sinxcosx－cos2x＋1＝sin2x－＋1＝＋＝sin＋，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.11．已知函数f(x)＝cosx(2sinx＋cosx)－sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，因为x∈，所以2x＋∈，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，且最大值为f＝2.从而可得m≤2.所以实数m的取值范围为(－∞，2]．12．已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f(x)＝sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＝2sin＋1.∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：x＋－－0πx－π－－πf(x)0－11310则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．
