课时跟踪检测(五十六)抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·江西九校联考)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选D依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．3B．4C．7D．13解析：选B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A．B．C．D．解析：选C抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离＝.答案：5．(2016·长春二模)过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l的方程为y＝x－1，与抛物线方程联立，得消去x，得y2－4y－4＝0，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为4，从而△OAB的面积为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·北京石景山模拟)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为()A．4B．6C．8D．12解析：选B依题意得，抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2＝6.2．(2015·绵阳二诊)若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为()A．B．C．D．解析：选B由题意知，抛物线准线方程为x＝－.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±，所以S△MFO＝××＝.3．(2016·运城期末)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y解析：选D设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.4．(2016·铜川一模)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.5．(2016·长春一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A．B．C．D．解析：选A记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，即cos60°＝＝，由此得＝.6．(2015·荆门质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由化简得y＝，解得y＝2±4，所以△AFB的边长为8±4.答案：8±47．(2016·北京密云模拟)已知两点A(1,0)，B(b,0)．如果抛物线y2＝4x上存在点C，使得△ABC为等边三角形，那么实数b＝________.解析：依题意，线段AB的垂直平分线x＝(b>－1)与抛物线y2＝4x的交点C满足|CA|＝|AB|＝|b－1|(其中n2＝2(b＋1))，于是有2＋n2＝(b－1)2，即2＋2(b＋1)＝(b－1)2，化简得3b2－14b－5＝0，即(3b＋1)(b－5)＝0，解得b＝5或b＝－.答案：5或－8．设抛物线C：y2＝2px(p>0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________.解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得，－y－＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，根据弦长公式，|FP|·|FQ|＝·|y1|·|y2|＝|y1y2|＝p2，...
