专题1变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算★★★○○○○1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．3．基本初等函数的导数公式原函数sinxcosxax(a>0)exlogax(a>0，且a≠1)lnx导函数cosx－sin_xaxln_aex4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sinx＋lnx(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．[例]求下列函数的导数：(1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝.[解](1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.(2)y′＝′＝＝＝.(3)y′＝′＝＝＝.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(5)y′＝＝＝.1.(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2017＋lnx)，f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e[解析](1)由题意可知f′(x)＝2017＋lnx＋x·＝2018＋lnx．由f′(x0)＝2018，得lnx0＝0，解得x0＝1.2.已知f(x)＝x2＋2xf′(2017)＋2017lnx，则f′(1)＝________.3．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：选C∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．1.(2017·东北四市联考)已知y＝，则y′＝()A.B．－C.D．0解析：选D因为常数的导数为0，又y＝是常数函数，所以y′＝0.2.(2016·大同二模)已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，则a＝()A．0B．1C．2D．4解析：选A∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′＝1，∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0.3.(2017·湖北重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－D.解析：选C因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.故选C.4.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．5.求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；(4)y＝xsincos.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(3)y′＝′＝＝－.(4)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
