33椭圆问题中最值得关注的几类基本题型1．“2MN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．3．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________．答案＋＝1解析设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2a＝2·2c，＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.4．(2014·大纲全国改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．答案＋＝1解析由e＝，得＝.①又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，1代入①得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.5．(2014·福建改编)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案6解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.6.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．答案解析设AF1＝m，AF2＝n，则有m＋n＝4，m2＋n2＝12，因此12＋2mn＝16，所以mn＝2，而(m－n)2＝(2a)2＝(m＋n)2－4mn＝16－8＝8，因此双曲线的a＝，c＝，则有e＝＝.7．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．2答案解析由椭圆的性质可知：AF1＝a－c，F1F2＝2c，F1B＝a＋c，又AF1，F1F2，F1B成等比数列，故(a－c)(a＋c)＝(2c)2，可得＝.8．(2014·辽宁)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________.答案12解析椭圆＋＝1中，a＝3.如图，设MN的中点为D，则DF1＋DF2＝2a＝6. D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴BN＝2DF2，AN＝2DF1，∴AN＋BN＝2(DF1＋DF2)＝12.9．(2014·江西)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·. ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又 b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.310．(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b.解(1)根据c＝及题设知M(c，)，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由MN＝5F1N，得DF1＝2F1N.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即4代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.12．(2014·江苏)如图...
