第1讲平面向量的概念及线性运算[基础题组练]1．(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝b，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B.因为BD＝DA，所以BD＝BA，所以CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)＝CB＋CA＝a＋b，故选B.2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.C.D.解析：选D.由题意易得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，所以2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.故λ＋μ＝＋＝.3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.4．如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则的值为()A．－3B．3C．2D．－2解析：选B.因为AP＝AB＋BP，BP＝BD＝(AD－AB)＝AD－AB＝×AC－AB＝AC－AB，所以AP＝AB＋＝AB＋AC；又AP＝λAB＋μAC，所以λ＝，μ＝；所以＝×＝3.故选B.5．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为()A．2B．3C．4D．8解析：选A.因为PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，所以3PA＝PB－PC＝CB，所以PA∥CB，且方向相同，所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2.6．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________．解析：因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB＋AC|＝2.答案：27．已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t的值为________．解析：设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM.因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，则AO＝AM＝(AB＋AC)＝＝AB＋AD.由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.答案：8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB(λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝AB，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.答案：39.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求＋的值．解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λa＋λb，则消去λ，得＋＝3.[综合题组练]1．(应用型)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1B．－C．1或－D．－1或－解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.2．(应用型)(2019·安徽安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得BM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝()A.B．－C．2D．－2解析：选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD＝tBC＝t(AC－AB)．因为M是线段AD的中点，所以BM＝(BA＋BD)＝(－AB＋tAC－tAB)＝－(t＋1)·AB＋tAC.又BM＝λAB＋μAC，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.故选B.3．(创新型)(2019·陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，则△ABC的面积等于()A.B．2C．3D．4解析：选B.因为AB＋PB＋PC＝0，所以AB＝－(PB＋PC)．由平行四边形法则可知，以PB，PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且长度相等．因为|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除BC外的对角线长为2，所以BC＝2，∠ABC＝90°...
