单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)单元质检卷第5页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3s末的瞬时速度是()A.7m/sB.6m/sC.5m/sD.8m/s答案:C解析:根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.12D.-12答案:B解析:因为y=x+1x-1的导数为y'=-2(x-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-12.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·(-12)=-1,解得a=-2.3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<1答案:B解析:求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-❑√3]∪[❑√3,+∞)B.[-❑√3,❑√3]C.(-∞,-❑√3)∪(❑√3,+∞)D.(-❑√3,❑√3)答案:B解析:由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-❑√3≤a≤❑√3.5.函数f(x)=x2+x-lnx的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当012时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f(12)=34+ln2>0,所以无零点.6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案:D解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.7.已知当x∈[12,2]时,a≤1-xx+lnx恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:令f(x)=1-xx+lnx,则f'(x)=x-1x2.当x∈[12,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在区间[12,1)内单调递减,在(1,2]上单调递增,∴在x∈[12,2]上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.8.(2019江西南昌模拟)已知函数f(x)=xsinx,x1,x2∈(-π2,π2),且f(x1)0B.x1+x2>0C.x12−x22>0D.x12−x22<0答案:D解析:由f(x)=xsinx,得f'(x)=sinx+xcosx,当x∈(0,π2)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(0,π2)内单调递增.又f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),∴f(x)为偶函数,∴当f(x1)g(1)=1.又0<α<π2,∴α∈(π4,π2).10.已知函数f(x)=-2f'(1)3❑√x-x2的最大值为f(a),则a等于()A.116B.3√44C.14D.3√48答案:B解析: f'(x)=-2f'(1)3·12❑√x-2x,∴f'(1)=-13f'(1)-2,解得f'(1)=-32,∴f(x)=❑√x-x2,f'(x)=1-4x❑√x2❑√x.令f'(x)>0,解得x<3√44,令f'(x)<0,解得x>3√44,故f(x)在区间(0,3√44)内递增,在区间(3√44,+∞)内递减,故f(x)的最大值是f(3√44),a=3√44.11.若函数f(x)=x33−a2x2+x+1在区间(12,3)内有极值点,则实数a的取值范围是()A.(2,52)B.[2,52)C.(2,103)D.[2,103)答案:C解析:若f(x)=x33−a2x2+x+1在区间(12,3)内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间(12,3)内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+1x.因为x∈(12,3),y=x+1x的值域是[2,103),当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是(2,103),故选C.12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(lny-lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪[1e,+∞)B.(0,1e]C.[1e,+∞)D.(-∞,0)答案:A解析:由题意知,a=x(2ex-y)lnyx.设yx=t(t>0,且t≠1),则a=1(2e-t)lnt,1a=(2e-t)lnt.令f(t)=(2e-t)lnt,f(t)≠0,则f'(t)=2et-(1+lnt).令2et=1+lnt,得t=e.由数形结合可知,当t>e时,f'(t)<0;当00.所以f(t)≤e,且f(t)...
