2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝()A．2B．C．D．1答案B解析解法一：由已知＝2，得＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2.∴＝2.∵a>0，∴a＝.解法二：∵＝＝|a＋i|＝＝2，∴a＝.2．[2016·北京高考]复数＝()A．iB．1＋iC．－iD．1－i答案A解析＝＝＝＝i，故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]若z＝1＋2i，则＝()A．1B．－1C．iD．－i答案C解析∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i，故选C.4．[2015·湖南高考]已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案D解析由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案A解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z·i＋2＝2z得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.6．[2016·天津高考]i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．答案1解析∵z＝＝1－i，∴z的实部为1.7．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.答案解析∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.8．[2014·湖南高考]满足＝i(i为虚数单位)的复数是________．答案－解析由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，即z＝＝＝＝－.9．[2017·金华模拟]已知z∈C，解方程z·z－3iz＝1＋3i.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.根据复数相等的定义，得解之得或∴z＝－1或z＝－1＋3i.10．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解(1)因为z＝bi(b∈R)，所以＝＝＝＝＋i.又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．复数z为实数的充分不必要条件是()A．z＝B．|z|＝zC．z2为实数D．z＋为实数答案B解析z＝⇔z∈R.|z|＝z⇒z∈R，反之不行，例如z＝－2.z2为实数不能推出z∈R，例如z＝i.对于任何z，z＋都是实数．故选B.12．复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析∵m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设在复平面内对应的点M的坐标为(x，y)，则消去m得x－3y－1＝0，因为直线x－3y－1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．答案解析∵|z－2|＝＝∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi.又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋是实数，根据题意有因为b≠0，所以解得或所以z＝－1－2i或z＝－2－i.
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