2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练理[A级基础达标](时间:40分钟)1.若a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=()A.2B.C.D.1答案B解析解法一:由已知=2,得=|(a+i)·(-i)|=|1-ai|=2.∴=2.∵a>0,∴a=.解法二:∵==|a+i|==2,∴a=.2.[2016·北京高考]复数=()A.iB.1+iC.-iD.1-i答案A解析====i,故选A.3.[2016·全国卷Ⅲ]若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i答案C解析∵z=(1+2i)(1-2i)=5,∴==i,故选C.4.[2015·湖南高考]已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D解析由=1+i,得z====-1-i.5.[2017·安徽模拟]设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案A解析设z=a+bi(a,b∈R),则由z·i+2=2z得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),即(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+bi=1+i.6.[2016·天津高考]i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为________.答案1解析∵z==1-i,∴z的实部为1.7.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=________.答案解析∵a,b∈R,且=1-bi,则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,∴∴∴|a+bi|=|2-i|==.8.[2014·湖南高考]满足=i(i为虚数单位)的复数是________.答案-解析由已知得z+i=zi,则z(1-i)=-i,即z====-.9.[2017·金华模拟]已知z∈C,解方程z·z-3iz=1+3i.解设z=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i.根据复数相等的定义,得解之得或∴z=-1或z=-1+3i.10.已知复数z=bi(b∈R),是实数,i是虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.解(1)因为z=bi(b∈R),所以====+i.又因为是实数,所以=0,所以b=-2,即z=-2i.(2)因为z=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以解得m<-2,即m∈(-∞,-2).[B级知能提升](时间:20分钟)11.复数z为实数的充分不必要条件是()A.z=B.|z|=zC.z2为实数D.z+为实数答案B解析z=⇔z∈R.|z|=z⇒z∈R,反之不行,例如z=-2.z2为实数不能推出z∈R,例如z=i.对于任何z,z+都是实数.故选B.12.复数m(3+i)-(2+i)(m∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,设在复平面内对应的点M的坐标为(x,y),则消去m得x-3y-1=0,因为直线x-3y-1=0经过第一、三、四象限,所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限,故选B.13.已知复数z=x+yi,且|z-2|=,则的最大值为________.答案解析∵|z-2|==∴(x-2)2+y2=3.由图可知max==.14.若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.解存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+bi.又z+3=a+3+bi实部与虚部互为相反数,z+是实数,根据题意有因为b≠0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.