空间向量在平行中的应用向量是研究图形性质的有力工具，任何一个空间向量都可用三个不在同一平面内的向量来表示，从而使得对空间图形性质的研究代数化，以棱柱、棱锥为依托，与空间角、距离等有关的问题，可采用空间向量的知识求解。我们可以以空间不共面的（特别是过一顶点的互相垂直的）三个向量为基底，证共线、共面问题，线面平行问题。例1、已知正方体1111DCBAABCD中，点E、F、G、H、K、M分别为所有棱的中点，如图，求证：EF、GH、KM共面。分析：证EF、GH、KM共面，等价于证0KMGHEF.证明：设cBBbBFaBE2,,1，则abEFcGC,1，.,cbKMacGH所以.0)(cbacabKMGHEF所以MKHGEF，因为GH与KM不共线，所以KMGHEF,,是共面向量故EF、GH、KM共面。例2、如图，已知四边形ABCD，ABEF为两个正方形，M、N分别在其对角线BF和AC上，且FM＝AN，求证：MN//平面EBC.证明：在正方形ABCD，ABEF中，因为BE＝AB，FM＝AN，FB＝AC，所以存在实数，使.,ACANBFMF所以EBADABBABEACEBBFANFAMFMN)(.)1()()(BCBEBEBCBEEBADBE所以BCBEMN,,共面，因为M、N不在平面EBC内，所以MN//平面EBC.点评：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y使p＝xa＋yb，利用共面向量定理可以证明线面平行问题。例3、正方体1111DCBAABCD中，求证：//1BDA平面.11DCB证明：如图，分别以DDCDAD11111,,三边所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则)1,0,0(),1,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11DCBA，则)1,0,1(),1,0,1(11CBDA，所以CBDA11//，即直线CBDA11//，所以//1DA平面.11DCB用心爱心专心同理可证//1BA平面.11DCB又DA111ABA，所以//1BDA平面.11DCB点评：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明，用向量法将逻辑论证转化为代数问题的计算，在应用向量法时需要合理地建立空间直角坐标系。用心爱心专心
