1.3.1函数的单调性与导数1．函数的单调性与其导数的关系在某个区间(,)ab内，如果_______，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果_______，那么函数()yfx在这个区间内单调递减.注意：在某个区间内，()0fx（()0fx）是函数()fx在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()fx在(,)ab内单调递增（减）的充要条件是()0fx（()0fx）在(,)ab内恒成立，且()fx在(,)ab的任意子区间内都不恒等于0.2．函数图象与()fx之间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较______，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.参考答案：1．()0fx()0fx2．大重点利用导数判断函数的单调性难点利用导数判断函数的单调性易错（1）由函数的单调性确定参数的取值范围时，不要忽略()0fx的情况；（2）求函数的单调区间时，一定要在定义域范围内求解一、利用导数判断函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0fx（()0fx）在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数()fx；②判断()fx的符号；③给出单调性结论．2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.13．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23fxxx；（2）2()lnfxxx.【解析】（1）由题意得2()63fxx.令2()630fxx，解得22x或22x.当2(,)2x时，函数为增函数；当2(,)2x时，函数也为增函数.令2()630fxx，解得2222x.当22(,)22x时，函数为减函数.故函数3()23fxxx的单调递增区间为2(,)2和2(,)2，单调递减区间为22(,)22.（2）函数2()lnfxxx的定义域为(0,).1(21)(21)()2xxfxxxx.令()0fx，解得22x；令()0fx，解得202x.故函数2()lnfxxx的单调递增区间为2(,)2，单调递减区间为2(0,)2.【名师点睛】由于在某区间上，个别点使导数为零不影响函数的单调性，故单调区间也可以写为闭区间的形式.【例2】已知函数(()1)axgxaxR，ln(1(()))fxxxg.（1）若函数()gx过点(1,1)，求函数()fx的图象在0x处的切线方程；（2）判断函数()fx的单调性.【解析】（1）因为函数()gx过点(1,1)，所以111a，解得2a，所以2ln(1())1fxxxx，所以222123()1(1)(1)xfxxxx，所以(0)3f，即所求的切线的斜率为3.又(0)0f，所以切点为(0,0).故所求的切线方程为3yx.（2）因为ln(1))((1)1fxaxxxx，所以221(1)11()(1)(1)axaxxaxxxfx.①当0a时，因为1x，所以()0fx，()fx单调递增；②当0a时，由()01fxx，得11xa，此时()fx单调递减；由()01fxx，得1xa，此时()fx单调递增.综上，当0a时，函数()fx在()1,上单调递增；当0a时，函数()fx在1]1,(a上单调递减，在[)1,a上单调递增.【名师点睛】对于含有参数的函数的单调性，要注意分类讨论的标准及函数的定义域.二、函数与导函数图象之间的关系判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【例3】设函数()yfx在定义域内可导，()yfx的图象如图所示，则导函数'()yfx可能为3ABCD【答案】D【解析】本题主要考查导数图象的判定.根据题意，已知函数的图象，结合函数的单调性可知，在y轴左侧为增函数，导数恒大于等于零，排除A，C，然后在y轴右侧，函数...
