高考达标检测（六十）不等式证明1．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.证明：2＋2＋2＝(12＋12＋12)[2＋2＋2]≥[1×＋1×＋1×]2＝[1＋（＋＋）]2＝[1＋(a＋b＋c)（＋＋）]2≥×(1＋9)2＝.即原不等式成立．2．(2017·大连双基测试)已知x，y是两个不相等的正实数，求证：(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)>9x2y2.证明：因为x，y是正实数，所以x2y＋x＋y2≥3＝3xy，当且仅当x2y＝x＝y2，即x＝y＝1时，等号成立；同理：xy2＋y＋x2≥3＝3xy，当且仅当xy2＝y＝x2，即x＝y＝1时，等号成立．所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)≥9x2y2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．因为x≠y，所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)>9x2y2.3．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.求证：＋≥.证明：法一：(分析法)∵|x|<1，|y|<1，∴>0，>0，∴＋≥.故要证明结论成立，只要证明≥成立．即证1－xy≥成立即可．∵(y－x)2≥0，有－2xy≥－x2－y2，∴(1－xy)2≥(1－x2)(1－y2)，∴1－xy≥>0.∴不等式成立．法二：(综合法)∵≤＝≤＝1－|xy|，∴＋≥≥，∴原不等式成立．4．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m.(1)求m的值；(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.法二：f(x)＝当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．故a2＋b2＋c2的最小值为.5．(2017·云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立．(1)求a的值；(2)设m＞n＞0，求证：2m＋≥2n＋a.解：(1)设f(x)＝|x＋1|－|2－x|，则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a，∴a≥3.设h(x)＝|x＋1|＋|2－x|，则h(x)＝则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.(2)证明：由(1)知a＝3.∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m＞n＞0，∴(m－n)＋(m－n)＋≥3＝3.∴2m＋≥2n＋a.6．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当1＜x＜2时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤1时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号．7．(2017·合肥模拟)已知a＞0，b＞0，记A＝＋，B＝a＋b.(1)求A－B的最大值；(2)若ab＝4，是否存在a，b，使得A＋B＝6？并说明理由．解：(1)A－B＝－a＋－b＝－2－2＋1≤1，当且仅当a＝b＝时等号成立，即A－B的最大值为1.(2)A＋B＝a＋b＋＋≥2＋2，因为ab＝4，所以A＋B≥4＋2＞6，所以不存在这样的a，b，使得A＋B＝6.8．(2016·西安质检)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|<1，|b|<1，a≠0，求证：>f.解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x<时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为∪[2，＋∞)．(2)证明：>f等价于f(ab)>|a|f，即|ab－1|>|a－b|.因为|a|<1，|b|<1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以|ab－1|>|a－b|.故所证不等式成立．
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