考点十五直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2019·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()A．1B．－2C．1或－2D．－答案A解析①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1，故选A.2．(2019·湖北黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为()A．y－x＝1B．y＋x＝3C．2x－y＝0或x＋y＝3D．2x－y＝0或－x＋y＝1答案C解析当直线过原点时，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝k，把点(1,2)代入直线的方程可得k＝3，故直线方程是x＋y－3＝0.综上可得所求的直线方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0，故选C.3．(2019·东北三省三校第二次模拟)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D.4．(2019·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.mB.mC.mD.m答案D解析以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线x2＝－2py(p>0)经过点(6，－5)，则36＝10p，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝，故选D.5．已知双曲线－＝1的离心率为，则a的值为()A．1B．－2C．1或－2D．－1答案C解析当焦点在x轴上时，a>0,2－a2>0，e2＝＝2，解得a＝1，当焦点在y轴上时，a<0，2－a2<0，e2＝＝2，解得a＝－2，综上知a＝1或a＝－2.6．已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是()A.B．－C．±D．－2答案B解析依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有＝1，|a|＝.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－，故选B.7．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A.B．1C.D．2答案D解析由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2， p>0，∴p＝2.8．已知椭圆C：＋y2＝1与动直线l：2mx－2y－2m＋1＝0(m∈R)，则直线l与椭圆C交点的个数为()A．0B．1C．2D．不确定答案C解析由题2mx－2y－2m＋1＝0，即m(2x－2)＋1－2y＝0可知直线l过定点，将代入＋y2，得＋＝<1，即点在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个交点，故选C.二、填空题9．(2019·湖南株洲第二次教学质量检测)设直线l：3x＋4y＋a＝0，与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________．答案10或－30解析因为|AB|＝6，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝4，所以＝4，即a＝10或a＝－30.10．(2019·河南鹤壁模拟)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且经过点A(3，－2)的双曲线方程是________．答案－＝1解析设与双曲线－＝1具有相同的渐近线的双曲线的方程为－＝m(m≠0)，代入点A(3，－2)，解得m＝，则所求双曲线的方程为－＝，即－＝1.11．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆C的方程为________．答案＋y2＝1解析设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.12．过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＋4y＝0截得的弦长是________．答案解析依题意，抛物线的焦点坐标是(1,0)，相应的直线方程是y＝(x－1)，即x－y－＝0.题中的圆(x－2)2＋(y＋2)2＝16的圆心坐标是(2，－2)、半径为4，则圆心(2，－2)到直线x－y－＝0的距离d＝＝，因此所求的弦长为2＝.三、解答题13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程．解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.因此点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0.(2)设N(x...
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