第一章3.13.1.1数系的扩充与复数的概念A级基础巩固一、选择题1．(2018·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为(A)A．－2B．1C．2D．1或－2[解析]由题意知：解得a＝－2，故选A．2．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(A)A．－3B．－2C．2D．3[解析]由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3．故选A．3．(2018·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a＋＝a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．4．(2017·潍坊高二检测)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为(B)A．－2B．3C．－3D．±3[解析]由题知解得m＝3．故选B．5．(2017·上海高二检测)设x，y均是实数，i是虚数单位，复数(x－2y)＋(5－2x－y)i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的(A)[解析]由题可知，可行域如A所示，故选A．6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于(D)A．kπ(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．2kπ＋(k∈Z)[解析]由复数相等的定义可知，∴cosθ＝，sinθ＝．∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．二、填空题7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝，y＝1．1[解析]由复数相等可知，∴8．(2018·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝1．[解析]∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，∴，解得a＝1．故答案为1．三、解答题9．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．[解析]由复数相等的充要条件，知即①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝．10．(2017·会宁期中)设复数z＝(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使得(1)z是纯虚数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限．[解析](1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由⇒，得m＝3．(2)当复数对应的点在第二象限时，由⇒，得－1＜m＜3．B级素养提升一、选择题1．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(D)A．－7≤λ≤B．≤λ≤7C．－1≤λ≤1D．－≤λ≤7[解析]由z1＝z2，得消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－．由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7．2．(2018·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－)＋(cosθ－)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－)的值为(A)A．－7B．－C．7D．－7或－[解析]因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即因为sinθ＝且cosθ≠，所以cosθ＝－，所以tanθ＝－，所以tan(θ－)＝＝＝－7．二、填空题3．(2018·和平区一模)设i是虚数单位，a为实数，若复数a＋是纯虚数，则a＝－3．[解析]a为实数，若复数a＋＝a＋＝a＋3－i是纯虚数，则a＋3＝0，解得a＝－3．2故答案为－3．4．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为4__．[解析]∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，∴，解得：x＝4．三、解答题5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．[解析]由题意，得∴∴当m＝3时，原不等式成立．6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．[解析]由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．因为x，y为实数，所以有得得x＝－1，y＝2．C级能力拔高已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一内角．若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围．[解析]若z总是虚数，则对任意的A，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，则只需k不在的值域内即可．解法一：＝＝tan，其中A∈(0，π)．∵当∈(0，)时，tan∈(0，＋∞)，∴的值域为(0，＋∞)．∴当k≤0时，≠k恒成立，即当k≤0时，不论A为何值，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，z总是虚数．解法二：∵＝－，而表示点(cosA，sinA)与点(1,0)连线的斜率，又(cosA，sinA)，A∈(0，π)在除去端点的半圆上，如图所示，利用数形结合，有∈(－∞，0)，∴∈(0，＋∞)．以下同解法一．3
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