课时作业(五十六)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0答案：B解析：由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求的交点个数为2.2．(2015·潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则|AB|的值为()A.B．C．D．答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的焦点为(1,0)，则直线l的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.∴x1＋x2＝.根据抛物线的定义，可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝.3．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，PF1·PF2的值等于()A．0B．2C．4D．－2答案：D解析：易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大，此时F1(－，0)，F2(，0)，不妨设P(0,1)，∴PF1＝(－，－1)，PF2＝(，－1)，∴PF1·PF2＝－2.4．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是()A．3x＋4y－13＝0B．4x＋3y－13＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x＋4y＋5＝0答案：A解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0.又 P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．即3x＋4y－13＝0.5．(2015·山东师大附中模拟)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，λμ＝，则该双曲线的离心率为()A.B．C.D．答案：D解析：由题意可知A，B，P.由OP＝λOA＋μOB，可知又λμ＝，∴∴b＝c，即c＝2b.又c2＝a2＋b2，故a＝b.∴e＝＝.故选D.二、填空题6．(2014·安顺5月)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN的方程为y＝－x＋b，代入y＝x2中，整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0，∴b>－.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，＝－＋b＝＋b，由在直线y＝x＋3上，得＋b＝－＋3，解得b＝2，联立解得7．(2014·郑州三模)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．答案：0或－8解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则由①－②，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，也即2x0＝··2y0＝·(－1)·2y0，∴y0＝－3x0，③又P在直线y＝x＋m上，∴y0＝x0＋m，④由③④解得P.代入抛物线y2＝18x，得m2＝18·，∴m＝0或－8.经检验m＝0或－8均符合题意．8．(2015·日照模拟)直线y＝x与椭圆＋＝1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆的离心率e为________．答案：解析：由题意，直线y＝x与椭圆＋＝1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点．∴点(c，c)在椭圆上，∴＋＝1. b2＝a2－c2，∴c4－3a2c2＋a4＝0.∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝. 0
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