考点测试17定积分与微积分基本定理高考概览考纲研读1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2．了解微积分基本定理的含义一、基础小题1．计算：(ex＋2x)dx＝()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案C解析(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝e．故选C．2．若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析dx＝(x2＋lnx)a1＝a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2．3．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx＝()A．－B．－C．D．答案D解析依题意得，f(x)dx＝x2dx＋dx＝x310＋lnxe1＝＋1＝．4．已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则－1[(x＋1)f(x)]dx＝()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析由图易知f(x)＝所以－1[(x＋1)f(x)]dx＝－1(x＋1)(－x－1)dx＋0(x＋1)(x－1)dx＝－1(－x2－2x－1)dx＋0(x2－1)dx＝－x3－x2－x0－1＋x3－x10＝－－＝－1，故选D．5．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的定积分为－af(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得－af(x)dx可表示为()A．－－af(x)dxB．2－af(x)dxC．f(x)dxD．－af(x)dx答案B解析偶函数的图象关于y轴对称，故－af(x)dx对应的几何区域关于y轴对称，因而其可表示为2－af(x)dx，应选B．6．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于()A．±1B．C．±D．2答案C解析f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝30＝9a＋3b，∴9a＋3b＝3(ax＋b)，即x＝3，x0＝±，故选C．7．给出如下命题：①dx＝dt＝b－a(a，b为常数，且a0)．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析由于dx＝a－b，dt＝b－a，所以①错误；由定积分的几何意义知，－1dx和dx都表示半径为1的圆的面积，所以都等于，所以②正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有－af(x)dx＝2f(x)dx，所以③错误．故选B．8．由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为()A．B．C．D．2答案A解析由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，∴y′x＝0＝4，在M点处的切线方程为y＝4x－3；y′x＝3＝－2，在N点处的切线方程为y＝－2x＋6．又两切线交点的横坐标为x＝，故所求面积S＝∫0[4x－3－(－x2＋4x－3)]dx＋[－2x＋6－(－x2＋4x－3)]dx＝∫0x2dx＋(x2－6x＋9)dx＝x30＋x3－3x2＋9x3＝．9．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为()A．∫0(sinx－cosx)dxB．2∫0(sinx－cosx)dxC．2∫0(cosx－sinx)dxD．∫0(cosx－sinx)dx答案C解析当x∈时，cosx≥sinx，当x∈时，sinx>cosx，故所求平面区域的面积为＋∫(sinx－cosx)dx，数形结合知∫0(cosx－sinx)dx＝∫(sinx－cosx)dx．故选C．10．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)＝5－t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是()A．55ln10mB．55ln11mC．(12＋55ln7)mD．(12＋55ln6)m答案B解析令5－t＋＝0，注意到t>0，得t＝10，即经过的时间为10s；行驶的距离s＝∫dt＝100＝55ln11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11m．11．∫0sin2dx＝________．答案－解析∫0sin2dx＝∫0dx＝x－sinx0＝－．12．由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．答案＋解析把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S＝－(2－x2)dx＋(2－x2－x)dx＝0－＋2x－－10＝2－＋2－－＝＋．二、高考小题13．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4答案D解析由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．∴S＝(4x－x3)dx＝20＝4．14．(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2．其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析由①得f(x)g(x)＝sinxcosx＝sinx，是奇函数，所以－1f(x)g(x)dx＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得f(x)g(x)＝x2－1，所以－1f(x)g(x)dx＝－1(x2－1)dx＝1－1＝－，所以②不...
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