第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项1、8递推公式应用3、5、9、14an与Sn的关系2、4、10、11、13数列的单调性、最值6、7综合问题12、15一、选择题1.数列、、、,…的一个通项公式是(D)(A)an=(B)an=(C)an=(D)an=解析:观察数列的前四项可得该数列的一个通项公式是an=.故选D.2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于(D)(A)(B)(C)(D)30解析:a5=S5-S4=-=,∴=30.故选D.3.对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表则a2015等于(D)x12345f(x)54312(A)2(B)3(C)4(D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{an}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.4.(2015银川九中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于(B)(A)2n-1(B)()n-1(C)()n-1(D)解析:由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),所以Sn+1=Sn.所以{Sn}是以S1=a1=1为首项,为公比的等比数列.所以Sn=()n-1.故选B.5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(D)(A)an=2n-1(B)an=()n-1(C)an=n2(D)an=n解析:由已知得nan+1=(n+1)an,所以=,所以{}是各项为1的常数数列.即=1,an=n.故选D.6.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若数列{an}为递增数列,则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,于是有3>2λ,λ<.由λ<1可推得λ<,但反过来,由λ<不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.7.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(D)(A)(B)(C)4(D)0解析:an=-3(n-)2+,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an取最大值,最大值为a2=a3=0.故选D.二、填空题8.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为an=.答案:an=9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则{an}的通项公式an=.解析:∵an+1=,∴=+2.∴-=2,∴数列{}是以=1为首项,2为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴an=.答案:10.已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,则数列{an}的通项公式是.解析:令Sn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,则Sn=9-6n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,2n-1·an=Sn-Sn-1=-6,∴an=-.∴通项公式an=答案:an=11.(2014辽宁大连测试)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1(n∈N*).则an=.解析:Sn=(n+1)2,当n=1时,a1=S1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1,所以an=答案:12.已知数列{an}的通项an=n2(7-n)(n∈N*),则an的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当00,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以an的最大值为50.答案:5013.(2014上海八校联考)已知数列{an}的首项a1=2,其前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+1,则an=.解析:由已知Sn+1=2Sn+1得Sn=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1=2an,又S2=a1+a2=2a1+1,得a2=3,所以数列{an}从第二项开始为等比数列,因此其通项公式为an=答案:三、解答题14.(2014陕西五校联考)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式an.(1)证明:∵a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).∴设bn=,则b1==2.bn+1-bn=-=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1,由此可知,数列{}为首项是2、公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知,=2+(n-1)×1=n+1,an=(n+1)·2n+1.15.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.解:(1)由an=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设an=60,则60=n2-n-30.解得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴n=6时,a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,an>0.令n2-n-30<0,n∈N*,解得0
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