专题十六定积分与微积分基本定理【高频考点解读】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义．【热点题型】题型一定积分例1、dx等于()A．2ln2B．－2ln2C．－ln2D．ln2解析：dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.答案：D【提分秘籍】1．定积分是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.2．设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇偶函数的对称性可知有以下两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.【举一反三】由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C.D.【热点题型】题型二微积分基本定理例2、(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e.答案：C【提分秘籍】利用微积分基本定理(—即牛顿莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)．【举一反三】设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于()A.B.C.D.【热点题型】题型三利用定积分求平面图形的面积例3、如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.B.C.D【提分秘籍】利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)“”将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．【举一反三】不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积是________．【热点题型】题型四定积分与概率计算交汇命题例4、若不等式组表示的平面区域为M，不等式y≥x2所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．【答案】【提分秘籍】利用定积分求出数列通项后，借助于数列裂项求和的方法可求和．【举一反三】已知等比数列{an}，且a4＋a8＝dx，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为()A．π2B．4C．πD．－9π解析： a4＋a8＝π，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝π2，故选A.答案：A【高考风向标】1．（·福建卷）如图14，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图142．（·湖北卷）若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．33．（·湖南卷）已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫0f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝4.（·江西卷）若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．15．（·山东卷）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.46．（·陕西卷）定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1【答案】C【解析】(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e.7．（·北京卷）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B．2C.D.【答案】C【解析】由题意得直线l的方程是y＝1，代入抛物线方程得x＝±2，所以直线l与抛物线C所围成图形的面积S＝4－2dx＝4－2)＝.8．（·福建卷）当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：1＋x＋x2…＋＋xn…＋＝.∫两边同时积分得：01dx∫＋0xdx∫＋0x2dx…∫＋＋0xndx…∫＋＝0dx，从而得到如下等式：1×＋×＋×…＋＋×…＋＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C×＋C×2＋C×3…＋＋C×＝__________．9．（·湖北卷）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln210...
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