专题十五导数与函数的最值及在实际生活中的应用【高频考点解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．【热点题型】题型一函数的最值与导数例1、已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．【提分秘籍】1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．2.求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论．【举一反三】已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0∞，＋)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围；【热点题型】题型二生活中的优化问题例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x个月内累计的需求量p(x)(单位：百件)满足p(x)＝(39x－2x2＋41)(1≤x≤12且x∈N*)．(1)求第x个月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x个月的销售量满足g(x)＝(单位：百件)，每件利润q(x)＝100ex－6元，求该商场销售该商品，第几个月的月利润达到最大值，最大是多少？(e6取值为403)【提分秘籍】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到原实际问题中作答．【举一反三】某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，出厂价为x元(25≤x≤40)．根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；(2)若t＝5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．解析：(1)设日销量q＝(k≠0)，则＝100，∴k＝100e30，∴日销量q＝，∴y＝(25≤x≤40)．【热点题型】题型三不等式的证明问题例3、已知函数f(x)＝lnx＋mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若m＝0，A(a，f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点，且a>b>0，f′(x)为f(x)的导函数，求证：f′<1，即证lnt－t＋1<0，令g(t)＝lnt－t＋1，则g′(t)＝－1<0，因此g(t)0)．(1)当x>0时，求证：f(x)－1≥a；(2)在区间(1，e)上f(x)>x恒成立，求实数a的范围；(3)当a＝时，求证：f(2)＋f(3)…＋＋f(n＋1)>2(n＋1－)(n∈N*)．【热点题型】题型四由不等式恒成立求参数范围例4、设函数f(x)＝lnx－ax2－bx.(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的最大值；(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0
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