阶段强化训练(四)一、选择题1．cos555°的值为()A.B．－C.D.B[cos555°＝cos(360°＋180°＋15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－＝－.]2．已知sin＝，则cos2α的值为()A.B．－C．－D.C[由题意得：cosα＝，cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，选C.]3．函数f(x)＝的最小正周期为()A.B.C．πD．2πC[由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，f(x)的最小正周期T＝＝π.]4．已知α，β∈，sinα＝，cosβ＝，则α－β等于()A．－B.C.D．－或A[∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，∵β∈，cosβ＝，∴sinβ＝，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－，又α－β∈，∴α－β＝－.]5．设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω＞0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则ω的值为()A.B．－C．－D.A[f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a，依题意得2ω·＋＝⇒ω＝.]二、填空题6．若α，β为锐角，且满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ＝.[∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．由cosα＝，求得sinα＝，由cos(α＋β)＝求得sin(α＋β)＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.]7．已知a＝(2cosx＋2sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.若f(x)是y关于x的函数，则f(x)的最小正周期为．π[由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1，所以f(x)＝2sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.]8．若＝2019，则＋tan2α＝.2019[＋tan2α＝＋＝＝＝＝＝2019.]三、解答题9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．[解](1)由角α的终边过点P得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.10．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin2α的值．[解](1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－.因为＜α＜，所以＜2α＋＜，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sin－cos＝×－×＝.1．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于()A．2B．3C．4D．5C[由已知得，4(tanα－tanβ)＝16(1＋tanαtanβ)，即＝4，∴tan(α－β)＝4.]2．已知sin＝，sin－cos的值为．[sin－cos＝sin－cos＝－sin＋cos2＝－sin＋1－2sin2＝－＋1－＝，故答案为.]3．已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，若a⊥b，则cos＝.－[因为a⊥b，所以4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，解得sinα＝.又因为α∈，所以cosα＝.cos2α＝1－2sin2α＝，sin2α＝2sinαcosα＝，于是cos＝cos2αcos－sin2αsin＝－.]4．函数f(x)＝的值域为．[f(x)＝＝＝2sinx(1＋sinx)＝2－，由1－sinx≠0得－1≤sinx＜1，所以f(x)＝的值域为.]5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sinxcosx)＋b.(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；(2)当a＜0且x∈时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．[解]f(x)＝a·＋a·sin2x＋b＝sin＋＋b.(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)0≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin≤1，f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，∴a＝2－2，b＝4.
