专题十四导数与函数的单调性、极值【高频考点解读】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【热点题型】题型一利用导数研究函数的单调性例1、(年高考全国新课标卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.【方法技巧】1．当f(x)不含参数时，可以通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间．2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．【提分秘籍】1．求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区“”间不能脱离定义域而单独存在，求单调区间要坚持定义域优先的原则．2．由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)“”恒成立，＝不能少．【举一反三】设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【热点题型】题型二利用导数研究函数的极值例2(年高考重庆卷)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【提分秘籍】利用导数研究极值需注意以下几点(1)首先考虑定义域.(2)判断函数的单调性时要注意分类讨论．(3)导数值为0的点不一定是函数的极值点．【举一反三】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【热点题型】题型三利用导数研究方程根的问题例3、已知函数f(x)＝ln(2ax＋1)＋－x2－2ax(a∈R)．(1)若x＝2为f(x)的极值点，求实数a的值；(2)当a＝－时，方程f(1－x)＝＋有实根，求实数b的最大值．【提分秘籍】1．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上交点问题；(2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；(3)结合图象求解．2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步：证明端点值异号.【高考风向标】1．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．2．（·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a，证明：an＞an＋1＞c.方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0.由此可得，f(x)在[c∞，＋)上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知3．（·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x20时，x20时，x2
VIP
