专题能力提升练十一空间中的平行与垂直(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为()A.平行B.相交C.直线b在平面α内D.平行或直线b在平面α内【解析】选D.依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内.2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α【解析】选C.对A,若m⊥n,n∥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,错误;对B,若m∥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,错误;对C,若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,正确;对D,若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α或m⊂α或m∥α,错误.故选C.3.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为()A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β【解析】选B.由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此A正确;过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确;根据面面垂直的性质定理,知选项C,D正确.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()A.B.C.D.【解析】选D.设M,N分别为BB1,B1C1中点,则F轨迹为线段MN,所以A1F与平面BCC1B1所成角的正切值范围为=,选D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是()A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.取BP的中点O,连接OA,OC,则BP⊥OA,BP⊥OC,又因为OA∩OC=O,所以BP⊥平面OAC,所以BP⊥AC,故选项A正确;又AC⊥BD,BP∩BD=B,得AC⊥平面BDP,又PD⊂平面BDP,所以AC⊥PD,平面PBD⊥平面ABCD,故选项C,D正确,故选B.6.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示:因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.【加固训练】(2018·荆州三模)已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,若球O的表面积为3π,则这个直三棱柱的体积是________.【解析】设直三棱柱的侧棱(高)为h,外接球的球心为O,因为外接球的表面积为3π,即4πR2=3π,解得R=,在底面Rt△ABC中,由AB=AC=1,所以BC=,取BC的中点O1,则OO1⊥平面ABC,在Rt△BOO1中,由勾股定理得R2=B+O⇒=+,解得h=1,所以直三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=.答案:二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)【解析】对于①,AA′(m)⊥平面ABCD(α),AA′(m)⊥AD(n),AD(n)∥平面A′B′C′D′(β),显然平面ABCD(α)∥平面A′B′C′D′(β),故①错误;对于②,n∥α,由线面平行的性质定理,可知n与α内的一条直线l平行,因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故②正确;对于③,设过m的平面γ交β于直线l,因为α∥β,m⊂α,由面面平行的性质定理可知m∥l,由线面平行的判定定理,可知m∥β,故③正确;对于④,若m,n分别与平面α,β平行(或垂直),结论显然成立,若m,n分别与平面α,β不平行,也不垂直,可以分别作出m,n在平面α,β内的射...
