专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲三角变换与解三角形2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．sin2α＝2sin_αcos_α，tan2α＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．它的双向应用分别起到了缩角升幂和扩角降幂的作用．三角恒等式的证明方法有：1．从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．2．等式的两边同时变形为同一个式子．3．将式子变形后再证明．1．正弦定理及其变形．＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．(1)a＝2Rsin_A，b＝2RsinB，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝，sin_B＝，sinC＝；(3)asinB＝bsin_A，bsinC＝csinB，asinC＝csin_A；(4)abc＝sin_Asin_Bsin_C．2．余弦定理及其变形．(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A，cosA＝；(2)b2＝c2＋a2－2cacosB，cosB＝；(3)c2＝a2＋b2－2abcos_C，cosC＝．3．△ABC的面积公式．(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)；(2)S＝absin_C＝acsin_B＝bcsin_A＝(R为△ABC外接圆半径)；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(2)设α∈(π，2π)，则＝sin.(×)(3)在△ABC中，tanA＝a2，tanB＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(×)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．(×)(5)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于.(×)1．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝(A)A．－B．－C.D.2．(2014·新课标Ⅱ卷)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为1．解析：由已知得，f(x)＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2cosxsinφ＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)≤1，故函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为1.3．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝1．解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cosA＝， a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cosA＝2××＝1.4．(2015·新课标Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是(－，＋)．解析：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF＜AB＜BE.在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝＝－.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，∴BE＝×＝＋.∴－＜AB＜＋.一、选择题1．定义运算＝ad－bc，则函数f(x)＝的图象的一条对称轴是(B)A.B.C．πD．02．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(A)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定解析：先由正弦定理将角关系化为边的关系得：a2＋b2＜c2，再由余弦定理可求得角C的余弦值为负，所以角C为钝角．故选A.3．(2013·浙江卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先判断由f(x)是奇函数能否推出φ＝，再判断由φ＝能否推出f(x)是奇函数．若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cosφ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立；若φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝的必要不充分条件．4．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA等于(A)A.B．－C.D．－解析： sin2A＝，∴2sinAcosA＝，即sinA、cosA同号．∴A为锐角，∴sinA＋cosA＝＝＝＝＝.5.若＝，则tan2α＝(B)A．－B.C．－D.解析：先由条件等式＝，左边分子分母同除以cosα，得＝，解得tanα＝－3，又由于tan2α＝＝.故选B.6．C是曲线y＝(x≤0)上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A坐标是(－1，0)．设∠CAO＝θ(其中O表示原点)，将AC＋CD表示成关于θ的函数f(θ)，则f(θ)＝(A)A．2cosθ－cos2θB．cosθ＋sinθC．2cosθ(1＋cosθ)D．2sinθ＋cosθ－解析：依题意，画出图形．△CAO是等腰三角形，∴∠DCO＝∠COA＝π－2θ.在Rt△COD中，CD＝CO·cos∠DCO＝cos(π－2θ)＝－cos2θ，过O作OH⊥AC于点H，则CA＝2AH＝2OAcosθ＝2cosθ.∴f(θ)＝AC＋CD＝2cosθ－cos2θ.故选A.二、填空题7．(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B...
