角度7.3极坐标与参数方程的综合应用1.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的极坐标方程为，射线，，与曲线分别交于不同于极点的三点.（1）求证：；（2）当时，直线过两点，求与的值.【答案】(I)见解析;(II)，．试题解析：(I)证明：依题意，，，，则．(II)解：当时，点的极坐标为，点的极坐标为，化为直角坐标，即，，则直线的方程为，所以，．2.已知直线在直角坐标系中的参数方程为为参数，为倾斜角)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为.(1)写出曲线的直角坐标方程；(2)点，若直线与曲线交于两点，求使为定值的值.【答案】（1）（2）试题解析：（1） ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2﹣ρ2cos2θ﹣4ρcosθ=0，∴x2+y2﹣x2﹣4x=0，即y2=4x．（2）把为（为参数，θ为倾斜角）代入y2=4x得：sin2θ•t2﹣4cosθ•t﹣4a=0，∴t1+t2=，t1t2=，∴∴当a=2时，为定值．3.已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；(2)设直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）；（2）2。【解析】解：(1)直线的普通方程为即，曲线的直角坐标方程是，即.4.已知，在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）；在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设点的极坐标为，为直线，的交点，求的最大值.【答案】（1）详解解析；（2）2【解析】试题分析：(1)利用题意由直线一般方程的系数关系可得两直线垂直；(2)由题意求得点到直线的距离为的最大值即可得的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）易知直线的普通方程为：.（Ⅱ）当，时，，所以点在直线上.设点到直线的距离为，由可知，的最大值为.于是，所以的最大值为2.5.已知圆和直线.（Ⅰ）求的参数方程以及圆上距离直线最远的点坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，将圆上除点以外所有点绕着逆时针旋转得到曲线，求曲线的极坐标方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据可得圆的参数方程，由直线的位置可得当时，圆上的点距离直线最远，即可得点坐标；（Ⅱ）得的极坐标方程为，该变换为，由相关点法可得结果.6.已知曲线C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用求极坐标方程即可；（Ⅱ）设、，则，联立和即可.解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则， ，当时，，，，当且仅当，即时取等号，∴,即的最大值为．7.平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．【答案】（1），;（2）．（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为．由一元二次方程的根与系数的关系知，∴．8.在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.【答案】（Ⅰ）:，:;（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）因为，，，的极坐标方程为，的普通方程为，即，对应极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）设，，则，，所以，又，，所以当，即时，取得最大值.9.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线与曲线的普通方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，设，求的值.【答案】（Ⅰ）；,（Ⅱ...
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