专题29不等式的证明技巧【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一比较法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系；第二步得出结论.例1设实数满足，求证：．【答案】详见解析.考点：不等式的证明.【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法.【变式演练1】设，求证：.【答案】详见解析.考点：不等式的证明.方法二分析法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.例3设证明：。【答案】原命题等价于，利用分析法。【变式演练2】已知：，求证：.【答案】应用分析法【解析】试题分析：要使原不等式成立，只要：只要，只要，只要，只要，由已知此不等式成立。考点：绝对值不等式的证明.方法三综合法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；第三步得出结论.例4已知，，求证：【答案】详见解析.【点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证.【变式演练3】已知且．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）可根据均值不等式：进行证明，也可多次利用基本不等式进行证明，即（Ⅱ）可多次利用基本不等式进行证明，即因为所以即试题解析：．解：（Ⅰ）．（Ⅱ）因为所以即考点：基本不等式证明不等式方法四放缩法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步根据已知找出其通项公式；第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；第三步利用数列求和公式即可得出结论.例5设求证【答案】详见解析.【点评】①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里，其中等的各式及其变式公式均可供选用。例6求证：.【答案】见解析.【变式演练4】求证：.【答案】见解析.考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练5】设、、是三角形的边长，求证.【答案】见解析.考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练6】已知均为正数，证明：．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．所以原不等式成立．考点：不等式的证明.方法五数学归纳法使用情景：对于含有的不等式类型解题模板：第一步验证当取第一个值时不等式成立；第二步当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立；第三步这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立得出结论.例7若，观察下列不等式：，，…，请你猜测将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。【答案】（x1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），证明见解析那么，当时，显然，当时，结论成立。由,知对于大于的整数，成立。（12分）考点：用数学归纳法证明不等式.【点评】应用数学归纳法最关键的一步是当假设使不等式在时成立的假设下，如何证明不等式在时也成立.考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练7】已知函数，，对于任意的，都有.（1）求的取值范围（2）若，证明：（）（3）在（2）的条件下，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明...
