第二课时用向量方法解决垂直问题课时演练·促提升A组1.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为,且l⊥α,则m的值为()A.1B.2C.4D.-4解析: l⊥α,∴l的方向向量与平面α的法向量共线.∴(2,1,m)=λ,解得m=4.答案:C2.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),它的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)解析:因为n=(6,-3,6)是平面α的一个法向量,所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直,只有在选项A中,=(2,3,3)-(1,-1,2)=(1,4,1),·n=(1,4,1)·(6,-3,6)=0,所以点P在平面α内.答案:A3.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是()A.=0B.=0C.=0D.=0解析: PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又 AC⊥BD,∴PC⊥BD.故选项B正确,选项A和D显然成立.故选C.答案:C4.如图,设a为正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点确定的平面A1BD的一个法向量,则()A.a∥B.a⊥C.a与相交但不垂直D.a与不共面解析:由于AC1⊥平面A1BD,即也是平面A1BD的一个法向量,因此必有a∥.答案:A5.平面α与平面β的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断:①m∥n⇒α∥β;②m⊥n⇒α⊥β;③a⊥m⇒l∥α;④a∥m⇒l⊥α.其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).解析:①中α与β还有可能重合;②④正确;③中l有可能在α内.答案:②④6.若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为.解析:设高为h,底边长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P(0,0,h),A,B,C,得平面PAB,PAC的法向量分别为,则3-9+=0,解得h=.故高与底面边长之比为∶6.答案:∶67.如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.1求证:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.证明:如图,以C1点为原点,分别以C1A1,C1B1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),因此=0-4+4=0,因此,故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1),又=(0,-2,-2),所以=-.又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,故BC1∥平面CA1D.8.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求证:(1)AF∥平面BDE;(2)CF⊥平面BDE.证明:(1)设AC与BD交于点G. EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,∴四边形AGEF为平行四边形,∴AF∥EG. EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.(2)连接FG. 正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,CD,CB,CE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F,∴=(0,-,1),=(-,0,1),∴=0-1+1=0,=-1+0+1=0.∴,∴CF⊥BE,CF⊥DE.又 BE∩DE=E,∴CF⊥平面BDE.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.2设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1). 平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=.故P.B组1.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为()A.1∶2B.1∶1C.3∶1D.2∶1解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),. BF⊥PE,∴=(-1)×+y=0.解得y=,即点F的坐标为.∴F为AD的中点.∴AF∶FD=1∶1.答案:B2.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定3解析:由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).故=0,=0,即,故PQ⊥平面DCQ,平面PQ...
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