第8章平面解析几何第6讲A组基础关1．(2019·唐山统考)“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析 方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为－＝1.3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案A解析 e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.4．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.－y2＝1B.－y2＝1C.－＝1D．x2－＝1答案B解析解法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.解法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.5．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为()A．3B．6C．9D．12答案B解析圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，所以3b2＝a2.由－＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选B.6．(2019·厦门模拟)△ABC中，∠B＝，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若(BA＋BC)·AC＝0，则E的离心率为()A.－1B.＋1C.D.答案D解析设线段AC的中点为D，则BA＋BC＝2BD，因为(BA＋BC)·AC＝0，所以BD·AC＝0，所以BD⊥AC，所以AB＝BC.因为B(c,0)，BC＝AB＝2c，且∠ABC＝，所以点C的坐标为(2c，c)．代入－＝1得－＝1，所以－＝1，所以4e2－＝1，整理得4e4－8e2＋1＝0，又e>1，解得e1＝.7．已知双曲线C：x2－＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为()A．8x－y－15＝0B．8x＋y－17＝0C．4x＋y－9＝0D．4x－y－7＝0答案A解析设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为M(2,1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．答案解析设“黄金双曲线”方程为－＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB⊥AB，所以FB·AB＝0.又FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等式两边同除以a2，得e＝.9．(2019·武汉模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为________．答案－2解析由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1＝(－1－x，－y)，PF2＝(2－x，－y)，PA1·PF2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2.10．(2018·唐山模拟)P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．答案a解析 点P是双曲线右支上一点，∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，若设△PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点．设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．由切线长定...
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