课时分层训练(五)函数的单调性与最值A组基础达标一、选择题1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝2－xB．y＝xC．y＝log2xD．y＝－B[由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]2．(2017·广州七中期末)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是()【导学号：79140027】A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)A[f(x)＝|x－2|x＝其图像如图，由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)A[因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.]4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是()A．y＝x2B．y＝sinxC．y＝D．y＝D[A中，x2≥0；B中，－1≤sinx≤1；C中，0＜≤1；D中，0≤≤1，故选D.]5．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12C[由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.]二、填空题6．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1)[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.【导学号：79140028】6[易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴即∴∴a＋b＝6.]8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞)[函数f(x)＝x2－2ax－3的图像开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.【导学号：79140029】[解]f(x)＝x＋，当a＞1时，a－＞0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0＜a＜1时，a－＜0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.10．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．[解](1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)f(x)＝＝＝1＋，当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．B组能力提升11．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为()A．[－1,2)B．[0,2)C．[0,1)D．[－1,1)C[函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴∴∴0≤a＜1，故选C.]12．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0,1]C．[－1,1]D．[－2,2]C[因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]13．函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．(－∞，－4)[由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.]14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值.【导学号：79140030】[解](1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，当x>1时，f(x)<0，∴f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
