6.2.1向量基本定理一、选择题1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定解析：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．答案：B2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是()A.OA，BCB.OA，CDC.AB，CFD.AB，DE解析：由题图可知，OA与BC，AB与CF，AB与DE共线，不能作为基底向量，OA与CD不共线，可作为基底向量．答案：B3．已知AD是△ABC的中线，AB＝a，AD＝b，以a，b为基底表示AC，则AC＝()A.(a－b)B．2b－aC.(b－a)D．2b＋a解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而AD＝(AB＋AC)，则AC＝2AD－AB＝2b－a.答案：B4．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为()A.B.C.D.解析：∵CD＝4DB＝rAB＋sAC，∴CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－.∴3r＋s＝－＝.答案：C二、填空题5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.答案：36．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，若OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，则OC＝________.解析：AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，∵2AC＋CB＝0，∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，∴OC＝2OA－OB＝2a－b.答案：2a－b7．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝________.解析：BE＝BC＋CE＝AD－AB＝b－a.答案：b－a三、解答题8．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以c＝a－2b.9．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN、NP、PM表示出来．解析：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－b－(a－b)＝－a＋b，PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．[尖子生题库]10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝AB＋AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，求x，y的值．解析：(1)由AM＝AB＋AC可知M，B，C三点共线，如图，令BM＝λBC⇒AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC⇒λ＝，所以＝，即面积之比为14.(2)由BO＝xBM＋yBN⇒BO＝xBM＋BA，BO＝BC＋yBN，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒
