课后限时集训(九)对数与对数函数(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．函数f(x)＝的定义域是()A．(－3,0)B．(－3,0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3,0)A[因为f(x)＝，所以要使函数f(x)有意义，需使即－3＜x＜0.]2．函数y＝ln的图像为()ABCDA[由题意易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D.当x＞时，函数为减函数，当x＜时，函数为增函数，故选A.]3．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为()A.B.C.D.A[ 0＜a＜1，∴函数f(x)在定义域上是减函数，所以当x∈[a,2a]时，f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a.由已知得1＝3loga2a，∴a＝(2a)3，解得a＝.故选A.]4．设a＝，b＝，c＝ln，则()A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜cB[法一：因为a＝＞＞b＝＞0，c＝ln＜ln1＝0，所以c＜b＜a，故选B.法二：因为a3＝＞b3＝＝，所以a＞b＞0.又c＝ln＜ln1＝0，所以c＜b＜a，故选B.]5．已知定义在R上的函数f(x)的周期为6，当x∈[－3,3)时，f(x)＝x－x＋1，则f(－log23)＋f(log212)＝()A.B.C.D.C[f(－log23)＋f(log212)＝f(－log23)＋f(－6＋log212)＝f(－log23)＋f＝－log23＋log23＋1＋log2－log2＋1＝3＋log216＋2＋＝.故选C.]二、填空题6．计算：lg0.001＋ln＋2－1＋log23＝________.－1[原式＝lg10－3＋lne＋2log2＝－3＋＋＝－1.]7．函数f(x)＝则f＝________；方程f(－x)＝的解是________．－2－或1[f＝log2＝－2；当x＜0时，由f(－x)＝log2(－x)＝，解得x＝－，当x≥0时，由f(－x)＝2－x＝，解得x＝1.]8．若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.－[ f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，即lg(10－1＋1)－a＝lg(101＋1)＋a，故2a＝lg(10－1＋1)－lg(101＋1)＝lg－lg11＝lg＝－1，解得a＝－，而当a＝－时，f(x)＝lg(10x＋1)－x＝lg(10x＋1)＋lg10－x＝lg[(10x＋1)10－x]＝lg，此时有f(－x)＝f(x)，综上可知，若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则a＝－.]三、解答题9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．[解](1) f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.由得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.[解](1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(2)因为f(4)＝log4＝－2，函数f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|＜4，解得－＜x＜，即不等式的解集为(－，)．B组能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5zD[令t＝2x＝3y＝5z， x，y，z为正数，∴t＞1.则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝＞0，∴2x＞3y.又 2x－5z＝－＝＝＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z.故选D.]2．(2019·广东模拟)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，则x的取值范围是()A.B．[1,5]C.D.∪[5，＋∞)C[ f(x)＝(ex－e－x)x，∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数． f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f(x)在(0，＋∞)上递增． f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.]3．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.9[f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上递减，在(1，n]上递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上...
