考点42直线、平面平行的判定与性质1．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,如图：C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,如图：D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,如图：2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试理）如图所示，正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是______①当且时，S为等腰梯形；②当分别为，的中点时，几何体的体积为；③当M为中点且时，S与的交点为R，满足；④当M为中点且时，S为五边形；⑤当且时，S的面积.【答案】①②【解析】对于①，画出图像如下图所示，过作，交于，截面为，由于，所以，故，所以，即截面为等腰梯形.故①正确.对于②，以为空间坐标原点，分别为轴，建立空间直线坐标系，则,则,.设平面的法向量为，则，令，则，故.则点到平面的距离为.而，故，故②命题正确.对于③，延长交的延长线于，连接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故③判断错误.对于④，当时，截面为三角形，故④判断错误.对于⑤，延长,交的延长线于，连接,交于，则截面为四边形.由于,所以，面积比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,边上的高为,故,所以.综上所述，本小题正确的命题有①②.3．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）如图，在多面体中，四边形是菱形，，四边形是直角梯形，，，.（Ⅰ）证明：平面.（Ⅱ）若平面平面，为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（I）见解析；（II）【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，，如图所示，因为，四边形是直角梯形，得且，所以四边形为平行四边形，即且.又因为四边形是菱形，所以，进而，得为平行四边形，即有，又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，在菱形中，，可得.因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.以为坐标原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.故，，，，，，.设平面的一个法向量为，则有即令可得.易知平面的一个法向量为.设平面与平面所成的锐二面角为，则,即所求二面角的余弦值为.【4．（天津市河西区2019届高三一模数学理）如图，已知四边形的直角梯形，,，，为线段的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）.（Ⅰ）若，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成的角的大小；（Ⅱ）否存在实数满足，使得平面与平面所成的锐角为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）（i）见解析（ii）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）（i）证明：连接交于点，连接，，依题意易证四边形为平行四边形.∴又 ，∴又 平面，平面，∴平面.（ii）解：如图，在平行四边形中 ，，∴以为原点建立空间直角坐标系则，∴设为平面的法向量则，得，不妨设∴又，∴即直线与平面所成的角的大小为.（Ⅱ）设∴∴设为平面的法向量，则得，，不妨设，又平面的法向量为，∴.∴∴，，∴.5．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】解：（1）连接交于点，连接．因为，所以，又因为，所以，所以，又面，面，所以面.（2）过作于，因为，所以是线段的中点．因为面面，面面，所以面．连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以.如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设，则，，，，，由，得，的中点，，.设面的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即.面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段上的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接，． ，...
