习题课（七）三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)＝是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选D由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．2．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是()A．x＝B．y＝C．x＝D．y＝解析：选C令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．令k＝0，得x＝.3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是()A．0B．1C．2D．4解析：选Cy＝cos＝sin. x∈[0,2π]，∴∈[0，π]，取关键点列表如下：x0π2π0πsin010∴y＝sin，x∈[0,2π]的图象如图．由图可知y＝sin，x∈[0,2π]的图象与直线y＝有两个交点．4．已知函数y＝2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是()A．2B．3C．＋2D．2－解析：选B因为x∈，所以cosx∈，故y＝2cosx的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.5．函数y＝|tan(2x＋φ)|的最小正周期是()A．2πB．πC．D．解析：选C结合图象(图略)及周期公式知T＝.6．y＝|cosx|的一个单调增区间是()A．B．[0，π]C．D．解析：选D将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.7．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是()A.B.C.D.解析：选D f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又 |φ|＜π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，得≤x≤.即f(x)的一个单调递增区间可以是.8．函数f(x)＝2sinx＋tanx＋m，x∈有零点，则m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．[－2，2]解析：选D令g(x)＝2sinx＋tanx，则g(x)在上单调递增，其值域为[－2，2]．由题意，得－2≤－m≤2，则－2≤m≤2，故选D.9．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为()A.B.C.D.解析：选A由题意知即其中k∈Z，则ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合为.10．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为()A．－B．－C．－D．解析：选D由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cosωx，又由题图知·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cosπx，故f＝cos＝.二、填空题11．函数y＝tan的定义域为________．解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．答案：12．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．答案：5＋2kπ(k∈Z)13．方程2sin＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．解析：方程化为2sin＝1－2a，在同一坐标系中作函数y＝2sin和y＝－2a＋1的图象， x∈[0，π]，∴x＋∈，2sin∈[－，2]，由图象可知当≤1－2a＜2时，原方程有两个不等实根，∴－＜a≤.答案：14．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析： f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z. ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.答案：三、解答题15．设函数f(x)＝asin和φ(x)＝btan，k＞0，若它们的最小正周期之和为，且f＝φ，f＝－φ＋1，求f(x)，φ(x)的解析式．解：f(x)＝asin的最小正周期T＝，φ(x)＝btan的最小正周期T＝. ＋＝，∴k＝2.∴f(x)＝asin，φ(x)＝btan，∴f＝asin＝－asin＝－a，φ＝btan＝－btan＝－b，f＝asin＝acos＝a，φ＝btan＝b.∴解得∴f(x)＝sin，φ(x)＝tan.16．已知f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在区间上的值域．解：(1)由f(x)＝2sin的最小正周期为π，得＝π， ω＞0，∴ω＝1，因此f(x)＝2sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由0≤x≤得－≤2x－...
