考点测试53双曲线一、基础小题1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为()A．B．C．D．答案B解析由题意可得＝，则离心率e＝＝＝，故选B．2．已知双曲线－＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±B．±C．±D．±答案D解析由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±＝±，故选D．3．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A．－＝1B．－＝1(x≥4)C．－＝1D．－＝1(x≥3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16． 焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D．4．双曲线－y2＝1的焦点到渐近线的距离为()A．B．C．1D．答案C解析焦点F(，0)到渐近线x±y＝0的距离d＝＝1，故选C．5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1答案A解析 －＝1的焦距为10，∴c＝5＝．①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b．②由①②解得a＝2，b＝，则C的方程为－＝1．故选A．6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝()A．3B．4C．5D．6答案A解析如图，设MN的中点为C，则由对称性知F1，F2分别为线段AM，BM的中点，所以|CF1|＝|AN|，|CF2|＝|BN|．由双曲线的定义，知|CF1|－|CF2|＝2a＝(|AN|－|BN|)＝6，所以a＝3，故选A．7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．答案x2－＝1解析由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1．8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．答案17解析解法一： 实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8． |PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17．又 |PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17．解法二：由题知，若P在右支上，则|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案A解析 e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝．因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．B．3C．2D．4答案B解析由题意分析知，∠FON＝30°．所以∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝OF＝1，所以|MN|＝3．故选B．11．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()A．B．2C．D．答案C解析由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a．在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝， 在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，∴＝⇒c2＝3a2，∴e＝．故选C．12．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1答案C解析 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，－3a)， ＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又 d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴双曲线的方程为－＝1，故选C．13．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_______...
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